Considere a reta tangente ao gráfico das seguintes funções no valor de x indicado. Calcule a sua intersecção com o eixo horizontal:
f_{1}(x)=\operatorname{sen}(x), x=\frac{\pi}{6}

Passo 1

O enunciado dá a função \,f_{1}(x)=\operatorname{sen}(x)\, e o ponto onde queremos a reta tangente: x=\dfrac{\pi}{6}. A pergunta é: determinar a interseção dessa reta tangente com o eixo horizontal (ou seja, o valor de x onde a reta tangente corta y=0). Informações relevantes: a função f_{1} e o ponto x=\dfrac{\pi}{6}.

Passo 2

Para achar a reta tangente a um gráfico num ponto precisamos de dois dados: as coordenadas do ponto no gráfico e a inclinação (derivada) da função nesse ponto. Aqui as coordenadas do ponto são \bigl(x_0,f_{1}(x_0)\bigr) com x_0=\dfrac{\pi}{6}. Vamos calcular f_{1}(x_0).

Passo 3

Calculemos o valor da função em x_0. Sabemos que
f_{1}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right).
Usando o valor trigonométrico conhecido \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}, obtemos o ponto do gráfico
\left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{1}{2}\right).

Passo 4

Agora precisamos da inclinação m da reta tangente, que é a derivada da função em x_0. A derivada de \operatorname{sen}(x) é \cos(x), isto é,
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x).
Aqui \cos(x) significa a taxa de variação instantânea de \operatorname{sen}(x). Avaliando em x_0,
m=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right).
Utilizando o valor trigonométrico conhecido \cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, temos
m=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Com o ponto \left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{1}{2}\right) e a inclinação m=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, a equação da reta tangente no formato ponto-inclinação é
y = m\bigl(x - x_0\bigr) + y_0.
Substituindo m, x_0 e y_0,
y = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\!\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) + \dfrac{1}{2}.

Passo 6

Queremos a interseção com o eixo horizontal, isto é, o valor de x tal que y=0. Então resolvemos
0 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\!\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) + \dfrac{1}{2}.
Isolando x:
\dfrac{\sqrt{3}}{2}\!\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2},
x - \dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}} = -\dfrac{1}{\sqrt{3}},
x = \dfrac{\pi}{6} - \dfrac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 7

Podemos simplificar \dfrac{1}{\sqrt{3}} escrevendo-a com denominador racionalizado: \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}. Assim a interseção fica
x = \dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\sqrt{3}}{3}.
Dica rápida para a prova: sempre calcule o ponto (x_0,f(x_0)) e a derivada f'(x_0); a fórmula ponto-inclinação evita erros e a interseção com y=0 sai de um simples isolamento algébrico como fizemos.

Resposta

\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}

Exercícios relacionados