Considere a reta tangente ao gráfico das seguintes funções no valor de
indicado. Calcule a sua intersecção com o eixo horizontal:
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto onde queremos a reta tangente:
. A pergunta é: determinar a interseção dessa reta tangente com o eixo horizontal (ou seja, o valor de
onde a reta tangente corta
). Informações relevantes: a função
e o ponto
.
Passo 2
Para achar a reta tangente a um gráfico num ponto precisamos de dois dados: as coordenadas do ponto no gráfico e a inclinação (derivada) da função nesse ponto. Aqui as coordenadas do ponto são
com
. Vamos calcular
.
Passo 3
Calculemos o valor da função em
. Sabemos que
Usando o valor trigonométrico conhecido
, obtemos o ponto do gráfico
Passo 4
Agora precisamos da inclinação
da reta tangente, que é a derivada da função em
. A derivada de
é
, isto é,
Aqui
significa a taxa de variação instantânea de
. Avaliando em
,
Utilizando o valor trigonométrico conhecido
, temos
Passo 5
Com o ponto
e a inclinação
, a equação da reta tangente no formato ponto-inclinação é
Substituindo
,
e
,
Passo 6
Queremos a interseção com o eixo horizontal, isto é, o valor de
tal que
. Então resolvemos
Isolando
:
Passo 7
Podemos simplificar
escrevendo-a com denominador racionalizado:
. Assim a interseção fica
Dica rápida para a prova: sempre calcule o ponto
e a derivada
; a fórmula ponto-inclinação evita erros e a interseção com
sai de um simples isolamento algébrico como fizemos.