Calcule os valores de
para as seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
O que você pode dizer sobre os resultados encontrados?
a)
b)
c)
d)
O que você pode dizer sobre os resultados encontrados?
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente calcular como o operador quadrado do momento angular,
, age em quatro funções que nada mais são do que harmônicos esféricos padrão:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Conteúdo: operador de momento angular em mecânica quântica e harmônicos esféricos.
Precisamos lembrar que harmônicos esféricos são autofunções de .
Precisamos lembrar que harmônicos esféricos são autofunções de
Passo 2
A teoria básica é esta:
Quando o operador age num harmônico esférico
, a gente tem a equação de autovalor
Quando o operador
Aqui
é a constante de Planck reduzida,
é o número quântico de momento angular total (inteiro
) e
é o número quântico magnético (inteiro entre
e
).
Passo 3
Vamos identificar cada caso:
- Na função (a),
: tem . - Nos casos (b), © e (d), todos são
(com , respectivamente).
Aplicando a fórmula de autovalor:
- Para
: . - Para
: .
Passo 4
O que isso nos diz? Todas essas funções são autofunções de
. Quando a gente aplica
, volta a mesma função multiplicada por um número (o autovalor). Esses valores são quantizados e dependem só de
. No caso
dá zero; no caso
dá
.
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)
Conclusão: todas são autofunções de
com autovalor
, ou seja 0 para
e
para
.