Calcule os valores de L^2 Y(theta, phi) para as seguintes funções:
a) 1 /(4 pi)^1 / 2
b) (3 / 4 pi)^1 / 2 cos theta
c) (3 / 8 pi)^1 / 2 sen theta e^i phi
d) (3 / 8 pi)^1 / 2 sen theta e^-i phi
O que você pode dizer sobre os resultados encontrados?

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente calcular como o operador quadrado do momento angular, , age em quatro funções que nada mais são do que harmônicos esféricos padrão:
a)
b)
c)
d)
Conteúdo: operador de momento angular em mecânica quântica e harmônicos esféricos.
Precisamos lembrar que harmônicos esféricos são autofunções de .

Passo 2

A teoria básica é esta:
Quando o operador hat L^2,Yl,m(theta,phi);=;hbar^2,l(l+1);Yl,m(theta,phi), age num harmônico esférico , a gente tem a equação de autovalor
Aqui é a constante de Planck reduzida, é o número quântico de momento angular total (inteiro ) e é o número quântico magnético (inteiro entre e ).

Passo 3

Vamos identificar cada caso:
  • Na função (a), : tem .
  • Nos casos (b), © e (d), todos são (com , respectivamente).
Aplicando a fórmula de autovalor:
  • Para : .
  • Para : .

Passo 4

O que isso nos diz? Todas essas funções são autofunções de . Quando a gente aplica , volta a mesma função multiplicada por um número (o autovalor). Esses valores são quantizados e dependem só de . No caso dá zero; no caso .

Resposta

a)
b)
c)
d)
Conclusão: todas são autofunções de com autovalor , ou seja 0 para e para .

Exercícios relacionados