Mostre que as harmônicas esféricas
e
são normalizadas e ortogonais entre si.
Passo 1
Resumo do enunciado: a ideia é mostrar que as harmônicas esféricas
são ortonormais, ou seja
Matéria: ortonormalidade de harmônicas esféricas.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- As fórmulas explícitas de cada
. - O elemento de área na esfera
. - Noções de integração em
e em .
Passo 2
Primeiro, escrevemos as formas conhecidas:
E a condição de ortonormalidade é
$$\int_{0}{2\pi}!!\int_{0}{\pi}Y_{\ell}{m*},Y_{\ell’}{m’},\sin\theta,d\theta,d\phi
=\delta_{\ell\ell’},\delta_{mm’},. $$
Passo 3
Normalização (o caso
):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Ortogonalidade (casos
):
-
(integral em dá zero). -
. -
(de novo a parte em anula).
Resposta
As harmônicas esféricas
,
e
estão todas normalizadas (cada módulo-ao-quadrado integrado vale 1) e ortogonais entre si (todos os produtos cruzados valem zero).