Mostre que as harmônicas esféricas Y0^0(theta, phi), Y1^0(theta, phi) e Y1^-1(theta, phi) são normalizadas e ortogonais entre si.

Passo 1

Resumo do enunciado: a ideia é mostrar que as harmônicas esféricas
Y0^0(theta,phi), Y1^0(theta,phi)e Y1^-1(theta,phi)
são ortonormais, ou seja
integralS^2Yell^m*(theta,phi),Yell'^m'(theta,phi),dOmega=de
Matéria: ortonormalidade de harmônicas esféricas.
O que vamos precisar:
  1. As fórmulas explícitas de cada Yell^m.
  2. O elemento de área na esfera dOmega=sintheta,dtheta,dphi.
  3. Noções de integração em theta e em phi.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as formas conhecidas:
Y0^0(theta,phi)=1raiz4pi,, Y1^0(theta,phi)=raiz34pi;costheta,, Y1^-1(theta,phi)=raiz38pi;sintheta,e^-iphi,
E a condição de ortonormalidade é
$$\int_{0}{2\pi}!!\int_{0}{\pi}Y_{\ell}{m*},Y_{\ell’}{m’},\sin\theta,d\theta,d\phi
=\delta_{\ell\ell’},\delta_{mm’},. $$

Passo 3

Normalização (o caso ell=ell',,m=m'):
  1. Para Y0^0:
integral|Y0^0|^2dOmega =integral0^2pi!!integral0^pi14pisintheta,dtheta,dphi =14pi,(2pi),(2)=1,
  1. Para Y1^0:
integral|Y1^0|^2dOmega =integral0^2pi!!integral0^pi34picos^2thetasintheta,dtheta,dphi =34pi(2pi)integral0^picos^2thetasintheta,dtheta =1(pois integral0^picos^2thetasintheta,dtheta=tfrac23)
  1. Para Y1^-1:
integral|Y1^-1|^2dOmega =integral0^2pi!!integral0^pi38pisin^2theta,sintheta,dtheta,dphi =38pi(2pi)integral0^pisin^3theta,dtheta =1(pois integral0^pisin^3theta,dtheta=tfrac43)

Passo 4

Ortogonalidade (casos (ell,m)neq(ell',m')):
  1. lang<= Y0^0|Y1^0rang<=proptointegralcostheta,sintheta,dtheta,dphi=0 (integral em theta dá zero).
  2. lang<= Y0^0|Y1^-1rang<=proptointegral e^-iphi,dphi=0.
  3. lang<= Y1^0|Y1^-1rang<=proptointegralcostheta,sin^2theta,e^-iphi,dtheta,dphi=0 (de novo a parte em phi anula).

Resposta

As harmônicas esféricas Y0^0, Y1^0 e Y1^-1 estão todas normalizadas (cada módulo-ao-quadrado integrado vale 1) e ortogonais entre si (todos os produtos cruzados valem zero).

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