Escreva os orbitais de Slater normalizados
e
. Qual a diferença entre eles e os orbitais correspondentes de átomos hidrogenóides.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente escrever os orbitais de Slater normalizados 1s, 2s e 2p e depois falar qual a diferença deles em relação aos orbitais de átomos hidrogenóides. Isso envolve conteúdo de funções de onda atômicas, normalização de orbitais e harmônicas esféricas. Vamos precisar da forma geral de um Slater Type Orbital (STO), da técnica de normalização (integral de Gamma) e das harmônicas esféricas básicas.
Passo 2
Primeiro, qual é a forma geral de um STO?
Em coordenadas esféricas, a gente escreve
Em coordenadas esféricas, a gente escreve
onde
-
= número quântico principal, -
= números quânticos angulares, -
= expoente de Slater (um parâmetro ajustável), -
= harmônica esférica, -
= constante de normalização, que garante .
Para achar
a gente faz só a parte radial, porque
. Então exige-se:
Isso vira
E a gente usa a fórmula da integral de Gamma discreta:
Passo 3
Aplicando com
e
,
Logo
Passo 4
Agora é só escolher
e
:
- 1s:
.
Como
,
Passo 5
- 2s:
.
E
.
- 2p:
. A parte radial é igual ao 2s, só mudam as harmônicas esféricas . Então
Passo 6
Qual a diferença para os orbitais hidrogenóides?
- Nos orbitais de H a gente tem um fator polinomial extra, tipo
no 2s, que gera um nó radial. Já o STO 2s é só , sem nó. - No H puro o expoente é fixo:
. Nos STOs é um parâmetro de ajuste (pode ser diferente). - Slater usa decaimento exponencial simples
, enquanto H tem o mesmo exponencial mas misturado com polinômios específicos que vêm da solução exata.
Resposta
1s:
2s:
2p:
Diferença principal: nos STO não tem nó radial extra (além do trivial em
no 2s), o expoente
é ajustável e o polinômio radial é simplesmente
, ao contrário dos orbitais hidrogenóides que têm polinômios derivados da solução exata e nós em posições específicas.