Escreva os orbitais de Slater normalizados 1 s, 2 s e 2 p. Qual a diferença entre eles e os orbitais correspondentes de átomos hidrogenóides.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente escrever os orbitais de Slater normalizados 1s, 2s e 2p e depois falar qual a diferença deles em relação aos orbitais de átomos hidrogenóides. Isso envolve conteúdo de funções de onda atômicas, normalização de orbitais e harmônicas esféricas. Vamos precisar da forma geral de um Slater Type Orbital (STO), da técnica de normalização (integral de Gamma) e das harmônicas esféricas básicas.

Passo 2

Primeiro, qual é a forma geral de um STO?
Em coordenadas esféricas, a gente escreve
chin,l,m(r,theta,phi) ;=; N,r^,n-1,e^-zeta r,Yl^m(theta,phi)
onde
  • integral0^infty l[N^2,r^2(n-1)e^-2zeta rr],r^2,dr = 1 = número quântico principal,
  • N^2integral0^infty r^2n,e^-2zeta r,dr = 1 = números quânticos angulares,
  • integral0^infty r^k e^-a rdr = k!a^,k+1 = expoente de Slater (um parâmetro ajustável),
  • = harmônica esférica,
  • = constante de normalização, que garante .
Para achar a gente faz só a parte radial, porque . Então exige-se:
Isso vira
E a gente usa a fórmula da integral de Gamma discreta:

Passo 3

Aplicando com integral0^infty r^2ne^-2zeta rdr = (2n)!(2zeta)^2n+1 e N^2,(2n)!(2zeta)^2n+1 = 1 Longrightarrow N = raiz(2zeta)^2n+1(2n)! ,
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Passo 4

Agora é só escolher N1s = raiz(2zeta)^32! = raiz8,zeta^32 = 2,zeta^3/2 e chi1s(r,theta,phi) = 2,zeta^3/2,e^-zeta r,1raiz4pi = 2,zeta^3/2raiz4pi,e^-zeta r :
  1. 1s: .
Como ,

Passo 5

  1. 2s: N2s = raiz(2zeta)^54! = raiz32,zeta^524 = 2raiz3,zeta^5/2 .
chi2s(r,theta,phi) = 2raiz3,zeta^5/2,r,e^-zeta r,1raiz4pi = 2,zeta^5/2raiz3,4pi,r,e^-zeta r
E N2p = N2s = 2raiz3,zeta^5/2, .
chi2pm(r,theta,phi) = 2,zeta^5/2raiz3,r,e^-zeta r,Y1^m(theta,phi)
  1. 2p: . A parte radial é igual ao 2s, só mudam as harmônicas esféricas . Então

Passo 6

Qual a diferença para os orbitais hidrogenóides?
  • Nos orbitais de H a gente tem um fator polinomial extra, tipo no 2s, que gera um nó radial. Já o STO 2s é só , sem nó.
  • No H puro o expoente é fixo: . Nos STOs é um parâmetro de ajuste (pode ser diferente).
  • Slater usa decaimento exponencial simples , enquanto H tem o mesmo exponencial mas misturado com polinômios específicos que vêm da solução exata.

Resposta

1s: chi1s = 2,zeta^3/2raiz4pi;e^-zeta r
2s: chi2s = 2,zeta^5/2raiz3,4pi;r;e^-zeta r
2p: chi2pm = 2,zeta^5/2raiz3;r;e^-zeta r;Y1^m(theta,phi)
Diferença principal: nos STO não tem nó radial extra (além do trivial em no 2s), o expoente é ajustável e o polinômio radial é simplesmente , ao contrário dos orbitais hidrogenóides que têm polinômios derivados da solução exata e nós em posições específicas.

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