Mostre que o número de conjuntos de números quânticos magnéticos (mell) e números quânticos de spin (ms) é igual a (2 L+1)(2 S+1). Aplique esse resultado ao caso n p^2 e mostre que os termos espectroscópicos ^1 S, ^3 P e ^1 D contêm todos os conjuntos de números quânticos magnéticos e de spin possíveis.

Passo 1

Beleza, o exercício pede duas coisas:
  1. Mostrar que, pra um termo com números quânticos de momento orbital L e de spin S, o número de pares possíveis de (mell,ms) é
;(2L+1),(2S+1);
Isso é conteúdo de acoplamento LS: a degeneração de um termo é dada pelo nº de valores de ML e MS.
2) Usar esse resultado na configuração n p^2 (ou seja, dois elétrons em orbitais p, cada um com l=1), e provar que os termos espectroscópicos ^1S,;^3P,;^1D somam todos os pares (mell,ms) possíveis.

Passo 2

Vamos derivar o (2L+1)(2S+1) de boa:
  • Teoria: num átomo em acoplamento LS, a soma vetorial dos momentos orbitais individuais dá um momento total L com projeção ML=mell1+mell2+cdots, e ML varia de -L a +L. Logo existem
ML;=;-L,,-L+1,dots,+LLongrightarrow 2L+1;valores
- Do mesmo jeito, a soma dos spins individuais dá um spin total S com projeção MS variando de -S a +S, isto é 2S+1 valores.
Como cada combinação (ML,MS) identifica um estado degenerado, o total de pares é produto:
boxed;(2L+1),(2S+1);

Passo 3

Agora, n p^2 significa dois elétrons em orbitais p ( l=1). Cada elétron tem
  • mellin-1,0,+1 (3 possibilidades),
  • msin+tfrac12,-tfrac12 (2 possibilidades).
    Como são 2 elétrons e não importam a ordem (e a regra de Pauli vai vir depois), o total de microestados “brutos” é simplesmente o número de pares de spin-orbitais escolhidos entre 6 disponíveis:
binom62=15;

Passo 4

Os termos possíveis pra p^2 em acoplamento LS (regra de Hund etc.) são
  • ^1S com L=0,;S=0, logo (2cdot0+1)(2cdot0+1)=1, estado.
  • ^3P com L=1,;S=1, logo (2cdot1+1)(2cdot1+1)=3times3=9, estados.
  • ^1D com L=2,;S=0, logo (2cdot2+1)(2cdot0+1)=5times1=5, estados.
Se você somar todos os estados:
1;+;9;+;5;=;15;,
que é exatamente o total de microestados disponíveis.

Resposta

Mostramos que um termo (L,S) tem (2L+1)(2S+1) pares (mell,ms) e, para n p^2, os termos ^1S, ^3P e ^1D fornecem respectivamente 1, 9 e 5 estados, totalizando 15 – ou seja, todos os pares possíveis.

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