, onde
é a metade superior do disco com centro na origem e raio 2.
Passo 1
Vou calcular
, onde
é a metade superior do disco
com
. O conteúdo envolve integral dupla e troca para coordenadas polares.
Passo 2
Em coordenadas polares temos
,
e
. Portanto
Passo 3
Como
é o semicírculo superior, os limites são
Passo 4
A integral fica
Passo 5
Agora separamos em parte radial e angular:
Passo 6
Calculando a parte radial:
Passo 7
Para a parte angular fazemos
u=costheta ,
du=-sintheta,dtheta . Quando
theta=0 ,
u=1 ; quando
theta=pi ,
u=-1 . Assim:
Passo 8
Multiplicando os resultados das duas partes: