integralD x^2 y d A, onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 2.

Passo 1

Vou calcular integralD x^2y,dA, onde D é a metade superior do disco x^2+y^2<=4 com y>=0. O conteúdo envolve integral dupla e troca para coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares temos x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta. Portanto
x^2y,dA=(rcostheta)^2,(rsintheta),r,dr,dtheta = r^4cos^2thetasintheta,dr,dtheta

Passo 3

Como D é o semicírculo superior, os limites são
0<= r<=2, 0<=theta<=pi

Passo 4

A integral fica
integralDx^2y,dA = integral0^piintegral0^2 r^4cos^2thetasintheta,dr,dtheta

Passo 5

Agora separamos em parte radial e angular:
integral0^2r^4,dr e integral0^picos^2thetasintheta,dtheta

Passo 6

Calculando a parte radial:
integral0^2r^4,dr = r^55|0^2 = 325

Passo 7

Para a parte angular fazemos u=costheta, du=-sintheta,dtheta. Quando theta=0, u=1; quando theta=pi, u=-1. Assim:
integral0^picos^2thetasintheta,dtheta = integral1^-1u^2(-du) = integral-1^1u^2,du = u^33|-1^1 = 23

Passo 8

Multiplicando os resultados das duas partes:
325times23 = 6415

Resposta

6415

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