- Sejam variáveis aleatórias i.i.d. com função geradora de momento para para algum . Defina e a função geradora de momento de .
a) Encontre em função de .
b) Mostre que
onde .
c) Interprete o resultado acima.
Passo 1
Neste exercício a gente vai trabalhar com funções geradoras de momento (MGF) de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.). Temos X₁,X₂,… com MGF M(t)<∞ para |t|<t₀ e definimos Sₙ=X₁+⋯+Xₙ. A tarefa é achar a MGF de Sₙ/n, chamar de Mₙ(t), e mostrar que, quando n→∞, Mₙ(t) converge para e^{tμ}, onde μ=E[X₁].
Passo 2
Para achar Mₙ(t) usamos a definição de MGF e a independência das Xᵢ. Temos
Agora vamos tomar o limite de quando n→∞. Como M é diferenciável em zero (domínio aberto em torno de zero), expandimos M em série de Taylor em u=0:
quando u→0. Substituindo u=t/n:
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Passo 4
O resultado limn→∞Mₙ(t)=e^μtₙ mostra que a MGF de Sₙ/n converge para a MGF de uma variável constante igual a μ. Isso significa que Sₙ/n converge em distribuição (e portanto em probabilidade) para μ, o que é exatamente a Lei Fraca dos Grandes Números.
Resposta
a) Mₙ(t)=l(M(t/n)r)^nₙ. b) limn→∞Mₙ(t)=e^μtₙ. c) Interpretação: essa é a MGF de uma variável degenerate em μ, logo Sₙ/n converge em probabilidade para μ (Lei Fraca dos Grandes Números).