^* * 5 - Sejam X1, X2, ldots variáveis aleatórias i.i.d. com função geradora de momento M(t) para |t| para algum t0>1. Defina Sn=X1+cdots+Xn e Mn(t) a função geradora de momento de Sn / n.
a) Encontre Mn(t) em função de M(t).
b) Mostre que
lim n infty Mn(t)=e^t mu
onde .
c) Interprete o resultado acima.

Passo 1

Neste exercício a gente vai trabalhar com funções geradoras de momento (MGF) de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.). Temos X₁,X₂,… com MGF M(t)<∞ para |t|<t₀ e definimos Sₙ=X₁+⋯+Xₙ. A tarefa é achar a MGF de Sₙ/n, chamar de Mₙ(t), e mostrar que, quando n→∞, Mₙ(t) converge para e^{tμ}, onde μ=E[X₁].

Passo 2

Para achar Mₙ(t) usamos a definição de MGF e a independência das Xᵢ. Temos
[
Mₙ(t)=E\bigl[e^{t(Sₙ/n)}\bigr]
=E\bigl[e^{tX₁/n}\bigr]\cdots E\bigl[e^{tXₙ/n}\bigr]
=\bigl(M(t/n)\bigr)^n.

Passo 3

Agora vamos tomar o limite de Mₙ(t) quando n→∞. Como M é diferenciável em zero (domínio aberto em torno de zero), expandimos M em série de Taylor em u=0:
M(u)=1+μu+o(u)
quando u→0. Substituindo u=t/n:
M(t/n)=1+μtfractn+ol(1/nr)
Logo
l(M(t/n)r)^n=l(1+μtfractn+o(1/n)r)^nxrightarrow[n→∞]e^μt

Passo 4

O resultado limn→∞Mₙ(t)=e^μt mostra que a MGF de Sₙ/n converge para a MGF de uma variável constante igual a μ. Isso significa que Sₙ/n converge em distribuição (e portanto em probabilidade) para μ, o que é exatamente a Lei Fraca dos Grandes Números.

Resposta

a) Mₙ(t)=l(M(t/n)r)^n. b) limn→∞Mₙ(t)=e^μt. c) Interpretação: essa é a MGF de uma variável degenerate em μ, logo Sₙ/n converge em probabilidade para μ (Lei Fraca dos Grandes Números).

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