Considere as retas:
r:\left\{\begin{array}{l} x=1 \\\ z=2 y-6 \end{array} ; \quad s:\left\{\begin{array}{l} x=-1+t \\\ y=-1+3 t \\\ z=6-t \end{array} ; \quad \text { e } \quad t:\left\{\frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{6}=\frac{z}{-2} .\right.\right.\right.
(a) Determine a posição relativa das retas a seguir e, se houver, seu ponto de interseção:
(i) r e s;
(ii) r e t;
(iii) t e s.
(b) Determine, se houver, a equação do plano que contém as retas:
(i) r e s;
(ii) r e t;
(iii) t e s.
(c) Determine a equação de uma reta l que é ortogonal a r, forma um ângulo de 60^{\circ} com o eixo das ordenadas e intercepta o eixo das abscissas em x=2.

Passo 1

O enunciado dá três retas em [\mathbb{R}^3) e pede várias coisas. Vou listar exatamente o que foi dado e o que se pede, para não me perder:
Dados (peguei as expressões diretamente do enunciado):
r:\begin{cases} x=1\\[4pt] z=2y-6 \end{cases}, \qquad s:\begin{cases} x=-1+t\\[4pt] y=-1+3t\\[4pt] z=6-t \end{cases}, \qquad t:\frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{6}=\frac{z}{-2}.
Perguntas:
(a) Para cada par de retas (i)\\ r\\ \text{e}\\ s\], \((ii)\\ r\\ \text{e}\\ t, (iii)\\ t\\ \text{e}\\ s: determinar a posição relativa (paralelas, concorrentes, reversas / Skew, coincidentes) e, se houver, o ponto de interseção.
(b) Para cada par acima: determinar, se existir, a equação do plano que contém as duas retas.
(c) Encontrar uma reta l que satisfaça simultaneamente: é ortogonal a r; faz ângulo de 60^\circ com o eixo das ordenadas (eixo y); intercepta o eixo das abscissas em x=2 (ou seja, passa por (2,0,0)). (Se existirem várias, um exemplo serve.)
A partir daqui eu começo a resolver passo a passo, convertendo as retas para formas vetoriais/paramétricas, calculando direções, testando interseções e planos, e finalmente resolvendo a parte (c). Vou explicar cada conceito usado.]

Passo 2

Primeiro passo técnico: escrever cada reta em forma paramétrica/vetorial e extrair um ponto e um vetor diretor — isso facilita cálculos de interseção, paralelismo e planos.
  • Para r\): temos \(x=1\) e \(z=2y-6\). Coloco \(y\) como parâmetro \(\lambda\). Então \[\begin{cases} x=1\\[4pt] y=\lambda\\[4pt] z=2\lambda-6 \end{cases}
Tomando \lambda\] como parâmetro, um ponto em \[r quando \lambda=0 é P_r=(1,0,-6) e o vetor diretor de r é
\vec{v}_r=(0,1,2).
  • Para s: já está paramétrica com parâmetro t. Um ponto em s quando t=0 é P_s=(-1,-1,6) e o vetor diretor é
\vec{v}_s=(1,3,-1).
  • Para t: escrevo com parâmetro \mu tal que \mu=\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y-1}{6}=\dfrac{z}{-2}. Então
\begin{cases} x=-2+2\mu\\[4pt] y=1+6\mu\\[4pt] z=-2\mu \end{cases}
Um ponto em t\] para \(\mu=0 é P_t=(-2,1,0) e o vetor diretor é
\vec{v}_t=(2,6,-2).
Observação imediata (útil mais à frente): \vec{v}_t=2\vec{v}_s, pois (2,6,-2)=2(1,3,-1). Isso mostra que s e t têm a mesma direção (são paralelas ou coincidentes).]

Passo 3

Conceito usado: duas retas em \mathbb{R}^3
  • são paralelas se seus vetores diretores são múltiplos escalares (colineares);
  • são concorrentes (intersectam) se existe solução comum para os parâmetros que torna as coordenadas iguais;
  • são reversas (skew) se não são paralelas e não se intersectam (não estão no mesmo plano).
Vou testar cada par usando os vetores diretores e buscar soluções dos sistemas de equações para interseção quando apropriado.

Passo 4

(i) Verificar [r) e s.
Vetores diretores:
\vec{v}_r=(0,1,2),\qquad \vec{v}_s=(1,3,-1).
Esses vetores não são múltiplos escalares (o primeiro componente de \vec{v}_r é 0, de \vec{v}_s é 1 ), logo as retas não são paralelas. Então podem intersectar ou ser reversas. Vou procurar interseção.
Para interseção, igualo coordenadas usando parâmetro \lambda para r e t (mas aqui já usei t em s; vou chamar o parâmetro de u para r e manter t para s):
Reta r: \;(x,y,z)=(1,u,2u-6).
Reta s: \;(x,y,z)=(-1+t,-1+3t,6-t).
Igualando as três coordenadas:
\begin{cases} 1=-1+t\\[4pt] u=-1+3t\\[4pt] 2u-6=6-t \end{cases}
Da primeira equação: (t=2].
Substituo em segunda: u=-1+3\cdot 2=-1+6=5.
Substituo u=5 na terceira: 2\cdot 5-6=10-6=4. E na direita com t=2: 6-2=4. Dá igualdade, logo é consistente.
Portanto r e s intersectam e o ponto de interseção, por exemplo usando u=5, é
P=(1,5,4).]

Passo 5

(ii) Verificar [r) e t.
Vetores diretores:
\vec{v}_r=(0,1,2),\qquad \vec{v}_t=(2,6,-2).
Eles não são múltiplos escalares (por exemplo o primeiro componente de \vec{v}_r é 0 e de \vec{v}_t é 2), então não são paralelas. Podem intersectar ou ser reversas. Vou buscar interseção.
Reta r: (x,y,z)=(1,u,2u-6).
Reta t: (x,y,z)=(-2+2\mu,\,1+6\mu,\, -2\mu).
Igualando coordenadas:
\begin{cases} 1=-2+2\mu\\[4pt] u=1+6\mu\\[4pt] 2u-6=-2\mu \end{cases}
Da primeira: (2\mu=3\Rightarrow \mu=\tfrac{3}{2}].
Então da segunda: u=1+6\cdot \tfrac{3}{2}=1+9=10.
Verifico terceira com u=10: esquerda 2\cdot 10 -6=20-6=14. Direita é -2\mu=-2\cdot \tfrac{3}{2}=-3. Não batem: 14\neq -3. Logo não há solução comum: as retas não se intersectam.
Conclusão: r e t não são paralelas e não se intersectam → são reversas (skew). Portanto não existem planos que contenham simultaneamente r e t.]

Passo 6

(iii) Verificar t e s.
Como observei antes: \vec{v}_t=(2,6,-2)=2(1,3,-1)=2\vec{v}_s. Logo os vetores são múltiplos escalares; as retas são paralelas ou coincidentes. Para decidir se coincidem ou são paralelas distintas, verifico se um ponto de uma pertence à outra.
Ponto de t: P_t=(-2,1,0). Tento ver se existe t em s tal que (-1+t,-1+3t,6-t)=(-2,1,0). Igualando a primeira coordenada: -1+t=-2\Rightarrow t=-1. Com t=-1 a segunda coordenada em s é -1+3(-1)=-4, que não é 1. Logo P_t não está em s. Portanto as retas são paralelas distintas (não coincidem) e, sendo paralelas distintas, não se intersectam. Elas estão contidas numa família de planos paralelos? Especificamente duas retas paralelas distintas determinam um único plano que as contém (sejam não coincidentes), então há um plano que contém ambas.

Passo 7

Agora passo para a parte (b): encontrar equações dos planos que contêm as retas quando existirem. Lembrando procedimento-teórico: se duas retas r_1 e r_2 são concorrentes ou paralelas distintas (mas coplanares), um plano que as contém pode ser construído tomando um ponto em comum (ou um ponto de uma e um vetor entre pontos das duas) e dois vetores diretores das retas; o vetor normal ao plano é o produto vetorial (cross product) desses dois vetores diretores. Escrevo a fórmula do produto vetorial para vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3):
\vec{a}\times\vec{b}=\bigl(a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1\bigr).
Depois o plano com normal \vec{n} que passa por ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) tem equação
\vec{n}\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0,
ou, expandindo, n_1(x-x_0)+n_2(y-y_0)+n_3(z-z_0)=0.
Vou aplicar isso para os pares que têm plano.

Passo 8

(b)(i) Plano contendo r e s.
Já tenho vetores diretores \vec{v}_r=(0,1,2) e \vec{v}_s=(1,3,-1). Calculo o produto vetorial \vec{n}=\vec{v}_r\times\vec{v}_s.
Uso a fórmula:
\vec{n}=(1\cdot(-1)-2\cdot 3,\; 2\cdot 1-0\cdot(-1),\;0\cdot 3-1\cdot 1).
Faço cada componente com calma:
  • primeira componente: 1\cdot(-1)-2\cdot 3=-1-6=-7,
  • segunda componente: 2\cdot 1-0\cdot(-1)=2-0=2,
  • terceira componente: 0\cdot 3-1\cdot 1=0-1=-1.
Logo \vec{n}=(-7,2,-1). Posso simplificar trocando sinal para obter \vec{n}=(7,-2,1) — tanto faz, é o mesmo plano.
Escolho o ponto de interseção P=(1,5,4) (já encontrado no Passo 4) para montar a equação do plano:
(7,-2,1)\cdot (x-1,y-5,z-4)=0.
Expando:
7(x-1)-2(y-5)+1(z-4)=0.
Distribuindo:
7x-7-2y+10+z-4=0 \quad\Rightarrow\quad 7x-2y+z-1=0.
Portanto o plano que contém r e s tem equação
\boxed{7x-2y+z-1=0.}

Passo 9

(b)(ii) Plano contendo r e t.
Do Passo 5 concluí que r e t são reversas (skew): não são paralelas e não se intersectam. Teoria: duas retas não paralelas que não se intersectam não estão no mesmo plano; portanto não existe plano que contenha ambas. Conclusão:
Não existe plano que contenha simultaneamente r e t.

Passo 10

(b)(iii) Plano contendo t e s.
Como s e t são paralelas distintas (ver Passo 6), existe um único plano que contém ambas. Para obter sua equação posso tomar um vetor diretor comum (por exemplo \vec{v}_s=(1,3,-1)) e um vetor que liga um ponto de s a um ponto de t; o produto vetorial desses dois vetores dará o normal do plano.
Tomemos pontos:
P_s=(-1,-1,6),\qquad P_t=(-2,1,0).
Vetor entre eles:
\vec{w}=P_t-P_s=(-2-(-1),\,1-(-1),\,0-6)=(-1,2,-6).
Agora o normal \vec{n}=\vec{v}_s\times\vec{w}. Calculo:
\vec{n}=(3\cdot(-6)-(-1)\cdot 2,\; -1\cdot(-1)-1\cdot(-6),\;1\cdot 2-3\cdot(-1)).
Fazendo conta componente a componente com calma:
  • primeira: 3\cdot(-6)-(-1)\cdot 2=-18-(-2)=-18+2=-16,
  • segunda: -1\cdot(-1)-1\cdot(-6)=1-(-6)=1+6=7,
  • terceira: 1\cdot 2-3\cdot(-1)=2-(-3)=2+3=5.
Então \vec{n}=(-16,7,5). Posso multiplicar por -1 se quiser: (16,-7,-5) também é normal.
Uso o ponto P_s=(-1,-1,6) para a equação do plano:
(-16,7,5)\cdot(x+1,y+1,z-6)=0.
Expando:
-16(x+1)+7(y+1)+5(z-6)=0.
Distribuindo:
-16x-16+7y+7+5z-30=0\quad\Rightarrow\quad -16x+7y+5z-39=0.
Multiplicar por -1 dá forma alternativa
16x-7y-5z+39=0.
Ambas representam o mesmo plano. Vou manter a forma simplificada
\boxed{-16x+7y+5z-39=0.}

Passo 11

Parte (c): construir uma reta l que satisfaça três condições:
  1. l é ortogonal a r. Isso significa que os vetores diretores satisfazem \vec{v}_l\cdot\vec{v}_r=0.
  2. l faz ângulo 60^\circ com o eixo das ordenadas (eixo y). O eixo y tem vetor diretor unitário \mathbf{e}_y=(0,1,0). A relação entre ângulo e produto escalar é
\cos\theta=\frac{|\vec{v}_l\cdot \mathbf{e}_y|}{\|\vec{v}_l\|\|\mathbf{e}_y\|}=\frac{|v_{l,y}|}{\|\vec{v}_l\|},
pois \|\mathbf{e}_y\|=1 e \vec{v}_l\cdot \mathbf{e}_y=v_{l,y} (componente y do vetor).
3. l intercepta o eixo x em x=2, i.e. passa por Q=(2,0,0).
Vou construir explicitamente um vetor diretor \vec{v}_l=(a,b,c) que satisfaça as condições (1) e (2), e depois escrevo a reta passando por Q com esse vetor.

Passo 12

Traduzindo as condições em equações para \vec{v}_l=(a,b,c):
(1) Ortogonal a r: \vec{v}_l\cdot\vec{v}_r=0, com \vec{v}_r=(0,1,2). Então
(0,1,2)\cdot(a,b,c)=0\quad\Rightarrow\quad b+2c=0.
Logo c=-\tfrac{b}{2}.
(2) Ângulo com eixo y igual a 60^\circ: \cos 60^\circ=\tfrac12=\dfrac{|b|}{\|\vec{v}_l\|}.
Seja L=\|\vec{v}_l\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}. Então
|b|=\tfrac{1}{2}L \quad\Rightarrow\quad b^2=\tfrac{1}{4}L^2.
Substituo c=-\tfrac{b}{2} na expressão do quadrado da norma:
L^2=a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+\left(-\tfrac{b}{2}\right)^2=a^2+b^2+\tfrac{b^2}{4}=a^2+\tfrac{5}{4}b^2.
Mas b^2=\tfrac{1}{4}L^2. Substituo isso:
L^2=a^2+\tfrac{5}{4}\cdot\frac{1}{4}L^2=a^2+\tfrac{5}{16}L^2.
Rearranjando para a^2:
a^2=L^2-\tfrac{5}{16}L^2=\tfrac{11}{16}L^2.
Portanto
a^2=\tfrac{11}{16}L^2\quad\Rightarrow\quad a=\pm\frac{\sqrt{11}}{4}L.
Isto significa que, para qualquer escolha de L>0, temos a relação entre componentes:
|b|=\tfrac{1}{2}L,\qquad c=-\tfrac{b}{2},\qquad |a|=\tfrac{\sqrt{11}}{4}L.
Podemos escolher L conveniente para simplificar valores. Uma escolha prática é L=4, pois cancela denominadores e deixa a norma inteira.
Com L=4 obtemos:
|b|=2,\quad c=-\tfrac{b}{2}=\mp 1\\ (\text{o sinal oposto ao de }b),\quad |a|=\sqrt{11}.
Assim vetores diretores possíveis (até multiplicação por escalares e escolha de sinais) são, por exemplo:
\vec{v}_l=(\sqrt{11},\,2,\,-1)\quad\text{ou}\quad \vec{v}_l=(\sqrt{11},\,-2,\,1),
ou também com a trocando de sinal (que apenas reverte a orientação da reta). Esses vetores satisfazem:
  • produto escalar com (0,1,2) é 2+2(-1)=0 (no primeiro caso), logo ortogonal;
  • norma \sqrt{11+4+1}=\sqrt{16}=4 e |b|/4=2/4=1/2\Rightarrow\theta=60^\circ.
Portanto existem (pelo menos) duas retas distintas que satisfazem as três condições (relacionadas às escolhas de sinal). Vou escrever ambas as equações paramétricas passando pelo ponto Q=(2,0,0).

Passo 13

Construção final das retas l\). Tomando \(\vec{v}_l=(\sqrt{11},2,-1)\) e ponto \(Q=(2,0,0)\), a reta é \[l_1:\begin{cases} x=2+\sqrt{11}\,t\\[4pt] y=0+2t\\[4pt] z=0-t \end{cases},\quad t\in\mathbb{R}.
Verifico rapidamente: produto escalar com \vec{v}_r\] é \[0, ângulo com eixo y é 60^\circ, e passa em (2,0,0) quando t=0.
Tomando \vec{v}_l=(\sqrt{11},-2,1) (a outra escolha com b trocado de sinal), também satisfaz as condições; a reta é
l_2:\begin{cases} x=2+\sqrt{11}\,t\\[4pt] y=0-2t\\[4pt] z=0+t \end{cases},\quad t\in\mathbb{R}.
Estas duas são exemplos válidos. Note que escolher a=-\sqrt{11}\] apenas inverte a orientação do parâmetro \(t e dá a mesma geometria de linha (tal como multiplicar todo o vetor por -1).]

Resposta

(a)(i) r e s são concorrentes; ponto de interseção (1,5,4).
(a)(ii) r e t são reversas (skew); não se intersectam.
(a)(iii) t e s são paralelas distintas; não se intersectam.
(b)(i) Plano que contém r e s: 7x-2y+z-1=0.
(b)(ii) Não existe plano que contenha r e t (as retas são reversas).
(b)(iii) Plano que contém t e s: -16x+7y+5z-39=0 (equivalente a 16x-7y-5z+39=0).
(c) Exemplos de retas l que satisfazem as condições (passam por (2,0,0), são ortogonais a r e fazem 60^\circ com o eixo y):
l_1:\;x=2+\sqrt{11}\,t,\\ y=2t,\\ z=-t.
l_2:\;x=2+\sqrt{11}\,t,\\ y=-2t,\\ z=t.

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