Calcule os valores de \mathrm{H}^{+}, \mathrm{OH}^{-}, \mathrm{pH} e pOH de uma solução de ácido forte HCl de concentração. Observação: na questão (e) não se deve usar aproximações.
1,00 \times 10^{-8} \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule \mathrm{[H^{+}]}, \mathrm{[OH^{-}]}, \mathrm{pH} e \mathrm{pOH} de uma solução de ácido forte HCl com concentração \;1{,}00\times10^{-8}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}. Dados relevantes fornecidos:
\text{concentração do HCl: } C = 1{,}00\times10^{-8}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.çã
Observação importante: não devo desprezar a contribuição da autoprotólise da água. Vou assumir temperatura de 25^\circ\mathrm{C}, portanto
K_w = 1{,}00\times10^{-14}.
O que a questão pede são quatro quantidades numéricas acima.

Passo 2

Entendendo fisicamente o problema (em linguagem simples):
  • HCl é um ácido forte: cada mol de HCl fornece exatamente 1 mol de \mathrm{H^{+}} na solução (dissociação completa).
  • Além disso, a água se autodissocia gerando pares \mathrm{H^{+}} e \mathrm{OH^{-}}. Se eu chamar de x a contribuição da água, então a água fornece x de \mathrm{H^{+}} e x de \mathrm{OH^{-}}.
    Logo:
\mathrm{[H^{+}]} = C + x, \qquad \mathrm{[OH^{-}]} = x.
Isso respeita a conservação de carga: os prótons do ácido somam-se aos gerados pela água.

Passo 3

Usando a constante de ionização da água K_w:
K_w = \mathrm{[H^{+}][OH^{-}]}.
Substituindo \mathrm{[H^{+}]}=C+x e \mathrm{[OH^{-}]}=x obtemos a equação
(C+x)\,x = K_w.
Desenvolvendo:
x^2 + Cx - K_w = 0.
Essa é uma equação quadrática em x. A solução positiva (pois concentrações não podem ser negativas) é dada pela fórmula de Bhaskara:
x = \frac{-C + \sqrt{C^2 + 4K_w}}{2}.

Passo 4

Agora eu substituo os números. Primeiro computo o discriminante:
C^2 + 4K_w = (1{,}00\times10^{-8})^2 + 4\times(1{,}00\times10^{-14}) = 1{,}00\times10^{-16} + 4{,}00\times10^{-14} = 4{,}01\times10^{-14}.
A raiz quadrada vale
\sqrt{C^2 + 4K_w} = \sqrt{4{,}01\times10^{-14}} = \sqrt{4{,}01}\times10^{-7}.
Aproximando \sqrt{4{,}01}\approx2{,}002498439, obtemos
\sqrt{C^2 + 4K_w}\approx 2{,}002498439\times10^{-7}.

Passo 5

Calculo x e, em seguida, \mathrm{[H^{+}]} e \mathrm{[OH^{-}]}:
x = \frac{-C + \sqrt{C^2 + 4K_w}}{2} = \frac{-1{,}00\times10^{-8} + 2{,}002498439\times10^{-7}}{2} = \frac{1{,}902498439\times10^{-7}}{2} \approx 9{,}512492195\times10^{-8}.
Portanto
\mathrm{[OH^{-}]} = x \approx 9{,}512492195\times10^{-8}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
E
\mathrm{[H^{+}]} = C + x = 1{,}00\times10^{-8} + 9{,}512492195\times10^{-8} = 1{,}0512492195\times10^{-7}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Como checagem rápida:
\mathrm{[H^{+}][OH^{-}]} \approx (1{,}0512492195\times10^{-7})(9{,}512492195\times10^{-8}) \approx 1{,}00\times10^{-14} = K_w,
o que confirma consistência.

Passo 6

Agora calculo \mathrm{pH} e \mathrm{pOH}. Lembre-se:
\mathrm{pH} = -\log_{10}(\mathrm{[H^{+}]}),\qquad \mathrm{pOH} = -\log_{10}(\mathrm{[OH^{-}]}).
É prático usar a forma
\mathrm{pH} = 7 - \log_{10}\!\bigl(1{,}0512492195\bigr),
pois \mathrm{[H^{+}]}=1{,}0512492195\times10^{-7}. Calculando o logaritmo:
\log_{10}\!\bigl(1{,}0512492195\bigr)\approx 0{,}021726,
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\mathrm{pH} \approx 7 - 0{,}021726 = 6{,}978274.
Analogamente, como \mathrm{[OH^{-}]}=9{,}512492195\times10^{-8},
\mathrm{pOH} = 8 - \log_{10}\!\bigl(9{,}512492195\bigr).
E \log_{10}\!\bigl(9{,}512492195\bigr)\approx 0{,}978274, então
\mathrm{pOH} \approx 8 - 0{,}978274 = 7{,}021726.
Checagem final: \mathrm{pH}+\mathrm{pOH}\approx 6{,}978274+7{,}021726=14{,}000000, coerente com K_w.

Resposta

\mathrm{[H^{+}]} = 1{,}0512492195\times10^{-7}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}
\mathrm{[OH^{-}]} = 9{,}512492195\times10^{-8}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}
\mathrm{pH} = 6{,}978274
\mathrm{pOH} = 7{,}021726

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