Calcule os valores de máximo e mínimos (locais e globais) das funções abaixo, restritas ao intervalo especificado.
Passo 1
O enunciado pede pra calcular os extremos locais e globais da função f(x)=x−ln(x) no intervalo [1/2,2]. Vamos usar cálculo de derivadas para encontrar pontos críticos, classificar com a segunda derivada e avaliar também as bordas do intervalo.
Passo 2
Calculamos a derivada de f. A derivada de x é 1 e de ln(x) é 1/x. Logo temos:
Passo 3
Os pontos críticos são obtidos resolvendo f’(x)=0, isto é x−1=0. Logo x=1. Analisando o sinal de f’(x), vemos que f’(x)<0 para x<1 (função decresce em (1/2,1)) e f’(x)>0 para x>1 (função cresce em (1,2)).
Passo 4
Agora avaliamos a segunda derivada pra classificar o ponto x=1. Derivando f’(x)=1−1/x, temos:
Passo 5
Como f’’(1)>0, x=1 é um mínimo local.
Passo 6
Para identificar os extremos globais, avaliamos f nos três pontos relevantes x=1/2, x=1 e x=2. Calculamos:
Passo 7
Comparando os valores numéricos (sabendo que ln2≈0,693), temos f(1)=1 é o menor, f(1/2)=1/2+ln2≈1,193 e f(2)=2−ln2≈1,307. Portanto o menor valor ocorre em x=1 e o maior em x=2.
Resposta
Mínimo local e global em x=1 com f(1)=1. Máximo global em x=2 com f(2)=2−ln2. Não há máximos locais no interior do intervalo.