Resolva as EDs abaixo usando a substituição
+y^2) d x+(x^2-x y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que precisa ser resolvida usando substituição. A equação dada é:
y^2 , dx + (x^2 - x y) , dy = 0
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição para simplificar a equação e encontrar uma solução. Não se preocupe, vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma $ M , dx + N , dy = 0 $ é exata se M , dx + N , dy = 0 .
Aqui, temos:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Calculando as derivadas parciais:
M = y^2 e N = x^2 - x y
Como partial Mpartial y = 2y e partial Npartial x = 2x - y , a equação não é exata. Então, precisamos de uma substituição para resolver.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição que simplifique a equação. Observe que os termos y/x aparecem na equação. Então, vamos definir uma nova variável:
v = yx
Isso implica que:
y = v cdot x
Agora, vamos derivar y em relação a x:
dy = v , dx + x , dv

Passo 4

Substituímos y e dy na equação original:
y^2 , dx + (x^2 - x y) , dy = 0
Substituindo:
(v cdot x)^2 , dx + (x^2 - x cdot v cdot x) cdot (v , dx + x , dv) = 0
Simplificando:
v^2 x^2 , dx + x^2(1 - v)(v , dx + x , dv) = 0

Passo 5

Expandindo os termos:
v^2 x^2 , dx + x^2(1 - v) v , dx + x^3(1 - v) , dv = 0
Agrupando os termos com dx e dv:
x^2(v^2 + v(1 - v)) , dx + x^3(1 - v) , dv = 0
Simplificando dentro dos parênteses:
v^2 + v - v^2 = v
Então:
v x^2 , dx + x^3(1 - v) , dv = 0

Passo 6

Dividimos toda a equação por x^2 para simplificar:
v , dx + x(1 - v) , dv = 0
Rearranjando:
v , dxx + (1 - v) , dv = 0

Passo 7

Vamos reorganizar para formar uma equação diferencial separável:
v cdot dxx = - (1 - v) cdot dv
Dividindo ambos os lados por x:
v1 - v cdot dxx = - dv

Passo 8

Agora, integramos ambos os lados:
integral v1 - v cdot dxx = - integral dv
Para a parte esquerda, fazemos uma separação de frações:
v1 - v = -1 + 11 - v
Então:
integral ( -1 + 11 - v ) cdot dxx = - integral dv
Isso simplifica para:
- integral dxx + integral dxx(1 - v) = - v + C
No entanto, para mantermos as coisas mais simples, podemos integrar diretamente:
ln|v| - v = -ln|x| + C

Passo 9

Lembrando que v = yx, substituímos de volta:
ln|yx| - yx = -ln|x| + C
Rearranjando os termos:
ln|y| - ln|x| - yx = -ln|x| + C
Simplificando:
ln|y| - yx = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
ln|y| - yx = C
onde C é a constante de integração.

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