Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que precisa ser resolvida usando substituição. A equação dada é:
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição para simplificar a equação e encontrar uma solução. Não se preocupe, vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma $ M , dx + N , dy = 0 $ é exata se .
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos de uma substituição para resolver.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição que simplifique a equação. Observe que os termos aparecem na equação. Então, vamos definir uma nova variável:
Isso implica que:
Agora, vamos derivar em relação a :
Passo 4
Substituímos e na equação original:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 5
Expandindo os termos:
Agrupando os termos com e :
Simplificando dentro dos parênteses:
Então:
Passo 6
Dividimos toda a equação por para simplificar:
Rearranjando:
Passo 7
Vamos reorganizar para formar uma equação diferencial separável:
Dividindo ambos os lados por :
Passo 8
Agora, integramos ambos os lados:
Para a parte esquerda, fazemos uma separação de frações:
Então:
Isso simplifica para:
No entanto, para mantermos as coisas mais simples, podemos integrar diretamente: