Calcule os valores de máximo e mínimos (locais e globais) das funções abaixo, restritas ao intervalo especificado.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos locais e globais da função
no intervalo fechado
. Vamos precisar usar derivadas para achar os pontos críticos e depois avaliar a função nas fronteiras.
Passo 2
Calcule a derivada de
. Usamos a regra do produto em
:
Passo 3
Encontre os pontos onde
. Como
para todo
, temos:
Esse ponto não está no intervalo
, logo não há extremos críticos internos.
Passo 4
Analise o sinal de
em
. Para todo
vale
, logo
. Isso mostra que
é estritamente crescente em
.
Passo 5
Em um intervalo fechado, extremos globais ocorrem nos pontos críticos internos (nenhum aqui) ou nas fronteiras. Avaliamos
em
e
:
Passo 6
Como
é crescente, o menor valor ocorre em
e o maior em
. Esses extremos nas fronteiras também são extremos locais quando se considera o domínio fechado.
Resposta
Mínimo local e global: em x=0, f(0)=2
Máximo local e global: em x=6, f(6)=6e^6+2
Máximo local e global: em x=6, f(6)=6e^6+2