Calcule os valores de máximo e mínimos (locais e globais) das funções abaixo, restritas ao intervalo especificado.
f(x)=x e^x+2, 0 <= x <= 6

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos locais e globais da função f(x)=x e^x + 2 no intervalo fechado [0,6]. Vamos precisar usar derivadas para achar os pontos críticos e depois avaliar a função nas fronteiras.

Passo 2

Calcule a derivada de f. Usamos a regra do produto em x e^x:
f'(x)=ddx(x)e^x + xddx(e^x)=1cdot e^x + xcdot e^x=e^x(1+x)

Passo 3

Encontre os pontos onde f'(x)=0. Como e^x>0 para todo x, temos:
e^x(1+x)=0Longrightarrow1+x=0Longrightarrow x=-1
Esse ponto não está no intervalo [0,6], logo não há extremos críticos internos.

Passo 4

Analise o sinal de f'(x) em [0,6]. Para todo x>=0 vale 1+x>0, logo f'(x)=e^x(1+x)>0. Isso mostra que f é estritamente crescente em [0,6].

Passo 5

Em um intervalo fechado, extremos globais ocorrem nos pontos críticos internos (nenhum aqui) ou nas fronteiras. Avaliamos f em x=0 e x=6:
f(0)=0cdot e^0+2=2,
f(6)=6e^6+2

Passo 6

Como f é crescente, o menor valor ocorre em x=0 e o maior em x=6. Esses extremos nas fronteiras também são extremos locais quando se considera o domínio fechado.

Resposta

Mínimo local e global: em x=0, f(0)=2
Máximo local e global: em x=6, f(6)=6e^6+2

Exercícios relacionados