Calcule o Polinômio de Taylor de grau 5, T5(x), centrado em 0 das funções.
f(x)=x^2 e^x

Passo 1

Vamos calcular o polinômio de Taylor de grau 5 centrado em 0 para a função f(x)=x^2e^x. O que vamos precisar: a definição de polinômio de Taylor em 0 e a série de Maclaurin de e^x.

Passo 2

A série de Maclaurin (Taylor em 0) de e^x é dada por:
e^x = sumn=0^infty x^nn!

Passo 3

Multiplicando essa série por x^2, obtemos a expansão de f(x):
x^2e^x = x^2 sumn=0^infty x^nn! = sumn=0^infty x^n+2n!
Podemos reindexar colocando k = n+2, logo:
x^2e^x = sumk=2^infty x^k(k-2)!

Passo 4

Para montar o polinômio de grau 5, só precisamos dos termos com k = 2,3,4,5. Isso dá:
x^20! + x^31! + x^42! + x^53!

Passo 5

Bastou calcular os fatoriais e escrever em forma simples. Assim chegamos ao polinômio de Taylor de grau 5.

Resposta

T5(x) = x^2 + x^3 + x^42 + x^56.

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