Determine o domínio das funções abaixo: f(x)=raiz[4]3 x^2+4 x-15-2 x;

Passo 1

Temos a função de domínio real dada por f(x)= raiz[4]3x^2+4x-15-2x. O conteúdo envolve entender domínio de uma raiz de índice par (radicando deve ser ≥0) e domínio de uma fração (denominador ≠0).

Passo 2

Impondo a condição do radical de índice 4, precisamos ter o radicando não-negativo:
3x^2 + 4x - 1 >= 0

Passo 3

Para resolver 3x^2+4x-1>=0, encontramos as raízes da equação 3x^2+4x-1=0 usando a fórmula de Bhaskara:
x = -4 pm raiz4^2 - 4cdot3cdot(-1)2cdot3 = -4 pm raiz16 + 126 = -4 pm 2raiz76 = -2 pm raiz73

Passo 4

Como o coeficiente de x^2 é positivo, o polinômio fica ≥0 para
x <= -2 - raiz73ou x >= -2 + raiz73

Passo 5

Agora, consideramos a restrição do denominador, que não pode ser zero:
5 - 2x neq 0 Longrightarrow x neq 52

Passo 6

Juntando as duas condições, o domínio é o conjunto de x que satisfaz 3x^2+4x-1>=0 excluindo x=5/2. Portanto, o domínio de f é
(-infty,,tfrac-2-raiz73];cup;[tfrac-2+raiz73,,tfrac52);cup;(tfrac52,,infty)

Resposta

O domínio de f é (-infty,,-2-raiz73]cup[-2+raiz73,,52)cup(52,,infty).

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