Calcule os valores de máximo e mínimos (locais e globais) das funções abaixo, restritas ao intervalo especificado.
f(x)=e^x-x-2, x in R

Passo 1

O exercício pede para encontrar valores de máximos e mínimos (locais e globais) da função f(x)=e^x - x - 2 em R. O conteúdo principal é análise de funções usando derivadas de primeira e segunda ordem para classificar extremos.

Passo 2

Calcular a derivada de primeira ordem para achar pontos críticos. f'(x)=ddxl(e^x - x - 2r)=e^x - 1

Passo 3

Igualar f'(x) a zero e resolver para x. e^x - 1 = 0 Longrightarrow e^x = 1 Longrightarrow x = 0

Passo 4

Usar a segunda derivada para classificar o ponto crítico. f''(x)=ddx(e^x - 1)=e^x Em x=0 temos f''(0)=e^0=1>0, logo x=0 é ponto de mínimo local.

Passo 5

Calcular o valor da função no ponto crítico. f(0)=e^0 - 0 - 2 = 1 - 0 - 2 = -1

Passo 6

Analisar os limites da função para determinar existência de máximos e mínimos globais. Como limxto-inftyf(x)=+infty e limxto+inftyf(x)=+infty, não há máximo (a função cresce indefinidamente em ambas as pontas). O mínimo local em x=0 com valor -1 é também o mínimo global.

Resposta

A função não possui máximos locais nem globais. Possui um único mínimo local e global em x=0, onde f(0)=–1.

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