Calcule os valores de máximo e mínimos (locais e globais) das funções abaixo, restritas ao intervalo especificado.
f(x)=xx^2-x+1, 0 <= x <= 3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos locais e globais da função f(x)=xx^2 - x +1 no intervalo [0,3]. O conteúdo é cálculo de máximos e mínimos em intervalo fechado, e vamos precisar usar derivada, pontos críticos e a análise nos extremos do intervalo.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada usando quociente. Se f(x)=u(x)v(x), então f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2. Aqui u(x)=x e v(x)=x^2 - x +1, logo
u'(x)=1, v'(x)=2x-1,
f'(x)=1cdot (x^2 - x +1) - xcdot (2x-1)(x^2 - x +1)^2 = x^2 - x +1 -2x^2 + x(x^2 - x +1)^2 = -x^2 +1(x^2 - x +1)^2

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos no interior de [0,3], igualamos f'(x)=0, ou seja
-x^2 +1 =0 implies x^2=1 implies x=pm1

Passo 4

Como x=-1 está fora de [0,3], o único ponto crítico relevante é x=1.

Passo 5

Agora avaliamos f(x) nos pontos candidatos: os extremos e o ponto crítico.
f(0)=00^2-0+1=0, f(1)=11-1+1=1, f(3)=39-3+1=37

Passo 6

Para classificar, observamos o sinal de f': como f'(x)>0 para 0 e f'(x)<0 para 1, em x=1 ocorre mudança de crescente para decrescente, caracterizando um máximo local. Nos extremos, consideramos vizinhança restrita ao intervalo: em x=0 a função cresce e em x=3 decresce, então ambos são mínimos locais (pela definição de vizinhança interna ao domínio).

Passo 7

Comparando valores, o menor valor é f(0)=0, logo mínimo global em x=0; o maior é f(1)=1, logo máximo global em x=1.

Resposta

Máximo local e global em x=1, com f(1)=1. Mínimos locais em x=0 (f(0)=0) e em x=3 (f(3)=3/7), sendo o mínimo global em x=0, f(0)=0.

Exercícios relacionados