Calcule os valores de máximo e mínimos (locais e globais) das funções abaixo, restritas ao intervalo especificado.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos locais e globais da função
no intervalo
. O conteúdo é cálculo de máximos e mínimos em intervalo fechado, e vamos precisar usar derivada, pontos críticos e a análise nos extremos do intervalo.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada usando quociente. Se
, então
. Aqui
e
, logo
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos no interior de
, igualamos
, ou seja
Passo 4
Como
está fora de
, o único ponto crítico relevante é
.
Passo 5
Agora avaliamos
nos pontos candidatos: os extremos e o ponto crítico.
Passo 6
Para classificar, observamos o sinal de
: como
para
e
para
, em
ocorre mudança de crescente para decrescente, caracterizando um máximo local. Nos extremos, consideramos vizinhança restrita ao intervalo: em
a função cresce e em
decresce, então ambos são mínimos locais (pela definição de vizinhança interna ao domínio).
Passo 7
Comparando valores, o menor valor é
, logo mínimo global em
; o maior é
, logo máximo global em
.
Resposta
Máximo local e global em x=1, com f(1)=1. Mínimos locais em x=0 (f(0)=0) e em x=3 (f(3)=3/7), sendo o mínimo global em x=0, f(0)=0.