Calcule os valores reais de m para que a equação 4^x-(m-2) 2^x+2 m+1=0 admita pelo menos uma raiz real.

Passo 1

O enunciado pede os valores reais de m tais que a equação
4^x ;-;(m-2),2^x;+;2m+1;=;0
tenha pelo menos uma raiz real em x. Vamos usar o método de substituição para transformar essa equação exponencial numa equação quadrática em uma nova variável. Precisaremos depois analisar o discriminante para ter raízes reais e verificar quando pelo menos uma dessas raízes é positiva (já que ela corresponderá a 2^x>0).

Passo 2

Definimos
t = 2^x,
de modo que t>0. Então 4^x = (2^x)^2 = t^2, e a equação vira
t^2 ;-;(m-2),t ;+;(2m+1);=;0,
com t>0.

Passo 3

Para que essa equação quadrática em t tenha raízes reais, o discriminante deve satisfazer
De<a = (m-2)^2 - 4,(2m+1) = m^2 -4m+4 -8m -4 = m^2 -12m = m,(m-12) ;>=;0
Assim, há raízes reais em t se, e somente se,
m<= 0ou m>= 12

Passo 4

As raízes t1,t2 dessa equação são
t1,2 = (m-2)pmraizm(m-12)2
O somatório e o produto das raízes valem
t1 + t2 = m-2, t1,t2 = 2m+1

Passo 5

Queremos pelo menos uma raiz t>0. Analisamos separadamente:
1. Se m>= 12, então
t1+t2 = m-2>0 e t1t2=2m+1>0,
o que implica que ambas as raízes são positivas. Logo, para todo m>=12 existe pelo menos uma t>0.
2. Se m<= 0, então De<a>=0 e vemos que:
  • t1t2 = 2m+1. Para haver uma raiz positiva e outra negativa, basta 2m+1<0, i.e.\ m< -tfrac12.
  • Se -tfrac12<= m<=0, então 2m+1>=0 e t1+t2=m-2<0, o que faz com que ambas as raízes sejam não-positivas, falhando em produzir t>0.
Portanto, no ramo m<=0, a condição necessária e suficiente para existir raiz positiva é m< -tfrac12.

Resposta

m<-tfrac12 ou m>=12.

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