Calcule os valores reais de
para que a equação
admita pelo menos uma raiz real.
Passo 1
O enunciado pede os valores reais de
tais que a equação
tenha pelo menos uma raiz real em
. Vamos usar o método de substituição para transformar essa equação exponencial numa equação quadrática em uma nova variável. Precisaremos depois analisar o discriminante para ter raízes reais e verificar quando pelo menos uma dessas raízes é positiva (já que ela corresponderá a
).
Passo 2
Definimos
de modo que
. Então
, e a equação vira
com
.
Passo 3
Para que essa equação quadrática em
tenha raízes reais, o discriminante deve satisfazer
Assim, há raízes reais em
se, e somente se,
Passo 4
As raízes
dessa equação são
O somatório e o produto das raízes valem
Passo 5
Queremos pelo menos uma raiz
. Analisamos separadamente:
o que implica que ambas as raízes são positivas. Logo, para todo
existe pelo menos uma
.
-
. Para haver uma raiz positiva e outra negativa, basta , i.e.\ . - Se
, então e , o que faz com que ambas as raízes sejam não-positivas, falhando em produzir .
Portanto, no ramo
, a condição necessária e suficiente para existir raiz positiva é
.