Calcule os valores de a e b para que a reta t : \left\{\begin{array}{l}x=3+a t \\\ y=2-b t \\\ z=7-2 t\end{array}\right. seja paralela à reta que é simultaneamente ortogonal às retas
A reta que queremos (aquela simultaneamente ortogonal a r e s) deve ter uma direção perpendicular às direções de r e de s.
A reta t tem vetor diretor dado por (a,\,-b,\,-2) (pois os coeficientes que multiplicam o parâmetro nas expressões de x,y,z formam o vetor diretor).]
Passo 2
Como extrair o vetor diretor de uma reta a partir de suas equações — mini-aula prática:
Se uma reta está em forma paramétrica x=x_0+u t,\;y=y_0+v t,\;z=z_0+w t, então o vetor diretor é (u,v,w). Aqui u,v,w são as componentes do incremento quando o parâmetro aumenta em 1.
Se uma reta está em forma simétrica \dfrac{x-x_0}{u}=\dfrac{y-y_0}{v}=\dfrac{z-z_0}{w}, também o vetor diretor é (u,v,w).
Se uma reta é dada por equações do tipo y=f(x),\;z=g(x), podemos tomar x como parâmetro; então, ao aumentar x em 1, as variações em y e z são f(x+1)-f(x) e g(x+1)-g(x), e o vetor diretor é (1,\,f'(ou\;incremento),\,g'(ou\;incremento)). No caso de funções lineares isso é direto.
Vamos aplicar isso passo a passo às retas r e s.
Passo 3
Encontrando os vetores diretores de r e s:
Para r: as equações são y=2x-8 e z=-3x+1.
Tomamos x como parâmetro (digamos x=\lambda). Então
y=2\lambda-8,\qquad z=-3\lambda+1,
logo a forma paramétrica é x=\lambda,\;y=2\lambda-8,\;z=-3\lambda+1. O vetor diretor de r é
\mathbf{v}_r=(1,\,2,\,-3).
Expliquei: quando \lambda aumenta em 1, x aumenta em 1, y aumenta em 2, z diminui em 3.
Para s: da forma simétrica \dfrac{x-4}{3}=\dfrac{y+2}{3}=\dfrac{z-6}{6}, chame esse valor comum de \mu. Então
x=4+3\mu,\qquad y=-2+3\mu,\qquad z=6+6\mu.
O vetor diretor de s é (3,\,3,\,6). Podemos simplificá-lo dividindo por 3 (vetores proporcionais representam a mesma direção), obtendo
\mathbf{v}_s=(1,\,1,\,2).
Passo 4
Como achar um vetor perpendicular a dois vetores dados — mini-aula sobre produto vetorial:
Em espaço \mathbb{R}^3, o produto vetorial (ou cross product) de dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v}, escrito \mathbf{u}\times\mathbf{v}, produz um vetor perpendicular a ambos.
Fórmula prática: se \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3), então
Ambos zero, perfeito — \mathbf{v} é ortogonal aos dois vetores como esperado.
Passo 6
Relação com a reta t: a reta que é simultaneamente ortogonal a r e s tem vetor diretor paralelo a \mathbf{v}=(7,-5,-1). A reta t tem vetor diretor (a,-b,-2). Para que t seja paralela a essa reta, deve valer
(a,\,-b,\,-2)=k\,(7,\,-5,\,-1)
para algum escalar k\neq 0.
Igualando componente a componente obtemos o sistema:
a=7k,\qquad -b=-5k,\qquad -2=-1\cdot k.
Da terceira equação vem imediatamente k=2 porque -2=-k implica k=2.
Substituindo k=2 nas outras:
a=7\cdot2=14,
-b=-5\cdot2=-10\quad\Rightarrow\quad b=10.
Passo 7
Checagem final (tranquiliza pra prova): com a=14 e b=10 o vetor diretor de t é (14,\,-10,\,-2), que é exatamente 2 vezes (7,-5,-1). Logo t é paralelo à reta cuja direção é (7,-5,-1), que por construção é perpendicular tanto a r quanto a s. Tudo bate.