Determine os valores de m para que as retas r:\left\{\begin{array}{l}x=2+2 t \\\ y=m t \\\ z=4+5 t\end{array}\right. e s:\left\{\frac{x+5}{-1}=y+m=\frac{z-6}{m}\right. sejam:
paralelas

Passo 1

O enunciado dá as duas retas e pede os valores de m\) para que elas sejam paralelas. Informações fornecidas e observações iniciais: - A reta \(r\) está em forma paramétrica: \[r:\begin{cases} x=2+2t\\[4pt] y=m t\\[4pt] z=4+5t \end{cases}
  • A reta s\] está em forma simétrica misturada: \[s:\left\{\frac{x+5}{-1}=y+m=\frac{z-6}{m}\right.\] - Da expressão de \(s inferimos que há um parâmetro (digamos u) tal que
\frac{x+5}{-1}=u,\qquad y+m=u,\qquad \frac{z-6}{m}=u.
  • Importante: como aparece \dfrac{z-6}{m}, devemos ter m\neq 0 para que essa forma seja válida. Vou considerar m\neq 0 ao longo da resolução.
  • O objetivo concreto: encontrar todos os m (reais, com m\neq 0) tais que as retas r e s sejam paralelas.]

Passo 2

Transformar s\) para a forma paramétrica (isso facilita extrair o vetor diretor). Partindo de \(u=\dfrac{x+5}{-1}\) temos \(x+5=-u\) e, portanto, \[x=-5-u.
Da igualdade u=y+m obtemos
y=u-m.
Da igualdade u=\dfrac{z-6}{m} obtemos z-6 = m u e, portanto,
z=6 + m u.
Assim uma parametrização de s é
s:\begin{cases} x=-5-u\\[4pt] y=u-m\\[4pt] z=6+mu \end{cases}
onde (u] é o parâmetro.]

Passo 3

Identificar os vetores diretores das retas a partir das parametrizações.
  • Para r, comparando com o parâmetro t, o vetor diretor é
\vec{v}_r=(2,\;m,\;5).
  • Para s, comparando com o parâmetro u, o vetor diretor é
\vec{v}_s=(-1,\;1,\;m).
Explicando: o vetor diretor vem dos coeficientes dos parâmetros nas coordenadas (por exemplo em x=2+2t o coeficiente de t é 2).

Passo 4

Condição de paralelismo entre retas em 3D (a aula rápida):
Dois vetores são paralelos se e somente se um é múltiplo escalar do outro. Ou seja, existem \lambda\in\mathbb{R}\), \(\lambda\neq 0\), tais que \[\vec{v}_r=\lambda\,\vec{v}_s.
Aplicando isso aos vetores encontrados, temos o sistema de equações (componentes correspondentes iguais):
\begin{cases} 2 = -\lambda,\\[4pt] m = \lambda,\\[4pt] 5 = \lambda\,m. \end{cases}
Vou resolver esse sistema para \lambda\] e \(m.]

Passo 5

Resolver o sistema obtido:
Da primeira equação 2=-\lambda obtemos \lambda=-2.
Da segunda equação m=\lambda obtemos então m=-2.
Agora verificar a terceira equação: 5=\lambda m. Substituindo \lambda=-2 e m=-2,
\lambda m = (-2)\cdot(-2)=4.
Isto daria 5=4, o que é falso. Portanto não existe \lambda que satisfaça simultaneamente as três equações: não conseguimos tornar \vec{v}_r múltiplo escalar de \vec{v}_s.

Passo 6

Verificação alternativa (fórmula útil): duas condições equivalentes para paralelismo são (a) existir múltiplo escalar como acima, ou (b) o produto vetorial ser o vetor nulo: \vec{v}_r\times\vec{v}_s=\vec{0}\). Vou calcular o produto vetorial para mostrar a incompatibilidade também por esse caminho (bom para checar erros): \[\vec{v}_r\times\vec{v}_s= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 2 & m & 5\\[4pt] -1 & 1 & m \end{vmatrix} = \bigl(m^2-5\bigr)\,\mathbf{i}-\bigl(2m+5\bigr)\,\mathbf{j}+\bigl(2+m\bigr)\,\mathbf{k}.
Para ser o vetor nulo precisamos de
\begin{cases} m^2-5=0,\\[4pt] 2m+5=0,\\[4pt] 2+m=0. \end{cases}
Da terceira equação 2+m=0\] vem \(m=-2. Substituindo na segunda, 2(-2)+5=1\neq 0. Logo não há m que anule todas as três componentes simultaneamente. Isso confirma o resultado anterior: não existe m que torne os vetores paralelos.]

Passo 7

Observação final e conclusão: lembrando que a forma simétrica de s exige m\neq 0, e mesmo assim, pelos cálculos acima, não existe nenhum m\in\mathbb{R} (com m\neq 0) que faça os vetores diretores proporcionais. Portanto não existem valores de m que tornem r e s paralelas.

Resposta

Não existe valor de m que torne as retas r e s paralelas.

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