Determine os valores de m para que as retas r:\left\{\begin{array}{l}x=2+2 t \\\ y=m t \\\ z=4+5 t\end{array}\right. e s:\left\{\frac{x+5}{-1}=y+m=\frac{z-6}{m}\right. sejam:
coplanares.

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores de m\) para que as retas \[r:\begin{cases}x=2+2t\\[4pt] y=m t\\[4pt] z=4+5t\end{cases}
e
s:\frac{x+5}{-1}=y+m=\frac{z-6}{m}
sejam coplanares.
Informações dadas (listadas claramente):
  • Uma representação paramétrica da reta r\]: ponto inicial \((2,0,4) (quando t=0) e vetor diretor (2,m,5).
  • Uma representação simétrica da reta s: está dada por \dfrac{x+5}{-1}=y+m=\dfrac{z-6}{m}. (Ainda preciso transformar isso em parâmetro para extrair ponto e vetor diretor.)
  • Objetivo: achar todos os valores de m (se houver) tal que as duas retas estejam contidas num mesmo plano (sejam coplanares).]

Passo 2

Qual critério vamos usar (explicação didática): duas retas em \mathbb{R}^3 são coplanares se, e somente se, o vetor diretor de uma delas, o vetor diretor da outra e o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra pertencem ao mesmo plano. Em termos vetoriais isso quer dizer que o produto misto (produto escalar do produto vetorial pelo terceiro vetor) é zero.
Explicando isso passo a passo:
  • Seja v_r o vetor diretor da reta r, v_s o vetor diretor da reta s, e w o vetor que vai de um ponto em r a um ponto em s.
  • O produto vetorial v_r\times v_s é perpendicular ao plano gerado por v_r e v_s.
  • Se w estiver no mesmo plano gerado por v_r e v_s, então (v_r\times v_s)\cdot w = 0.
    Portanto a condição algébrica a aplicar é
(v_r\times v_s)\cdot w = 0.
Vou aplicar essa condição às retas dadas.

Passo 3

Transformar a equação de s\) para forma paramétrica (explico cada passo): A expressão \(\dfrac{x+5}{-1}=y+m=\dfrac{z-6}{m}\) significa que existe um parâmetro \(\lambda\) tal que \[\frac{x+5}{-1}=\lambda,\qquad y+m=\lambda,\qquad \frac{z-6}{m}=\lambda.
Assim:
  • da primeira: x+5=-\lambda \Rightarrow x=-\lambda-5;
  • da segunda: y=\lambda - m;
  • da terceira: z-6 = m\lambda \Rightarrow z=6+m\lambda.
Logo uma forma paramétrica para s (usando \lambda como parâmetro) é
s:\begin{cases}x=-5-\lambda\\[4pt] y=\lambda - m\\[4pt] z=6+m\lambda\end{cases}
Isto mostra facilmente:
  • ponto de s\] quando \(\lambda=0: S_0=(-5,-m,6);
  • vetor diretor de s obtido derivando em relação a \lambda: v_s=(-1,1,m).
Eu disse explicitamente de onde tirei o ponto S_0 e o vetor diretor v_s; peguei-os da parametrização da equação simétrica.]

Passo 4

Identificar ponto e vetor diretor de r (já é paramétrica):
Da reta r:\;x=2+2t,\;y=m t,\;z=4+5t, tomando t=0 obtemos o ponto R_0=(2,0,4) e o vetor diretor
v_r=(2,m,5).
Agora temos tudo para aplicar o critério do produto misto: v_r, v_s e o vetor ligador w = S_0 - R_0.

Passo 5

Calcular o vetor ligador w (mostrando cada componente):
w = S_0 - R_0 = (-5,-m,6) - (2,0,4).
Subtraindo componente a componente:
w = (-5-2,\;-m-0,\;6-4) = (-7,\,-m,\;2).

Passo 6

Calcular o produto vetorial v_r\times v_s passo a passo:
Recordando que v_r=(2,m,5) e v_s=(-1,1,m), o produto vetorial é
v_r\times v_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 2 & m & 5\\[4pt] -1 & 1 & m \end{vmatrix}.
Expandindo (com explicação das componentes):
  • componente x (i): m\cdot m - 5\cdot 1 = m^2 - 5;
  • componente y (j): 5\cdot(-1) - 2\cdot m = -5 - 2m (atenção ao sinal);
  • componente z (k): 2\cdot 1 - m\cdot(-1) = 2 + m.
Portanto
v_r\times v_s = (m^2-5,\; -5-2m,\; 2+m).]

Passo 7

Agora imponho o produto misto igual a zero:
(v_r\times v_s)\cdot w = 0.
Substituindo v_r\times v_s = (m^2-5,\,-5-2m,\;2+m) e w=(-7,-m,2), fazemos o produto escalar componente a componente:
(m^2-5)(-7) + (-5-2m)(-m) + (2+m)\cdot 2 = 0.
Calculo termo a termo (mostrando as contas):
  • primeiro termo: (m^2-5)(-7) = -7m^2 + 35;
  • segundo termo: (-5-2m)(-m) = 5m + 2m^2;
  • terceiro termo: (2+m)\cdot 2 = 4 + 2m.
Somando:
-7m^2 + 35 + 5m + 2m^2 + 4 + 2m = 0.
Agrupando termos semelhantes:
  • termos em m^2: -7m^2 + 2m^2 = -5m^2;
  • termos em m: 5m + 2m = 7m;
  • termos constantes: 35 + 4 = 39.
Logo obtemos a equação quadrática
-5m^2 + 7m + 39 = 0.
Multiplicando por -1 para ficar mais convencional:
5m^2 - 7m - 39 = 0.

Passo 8

Resolver a equação quadrática (lembrando a fórmula e explicando discriminante):
A fórmula para raízes de a m^2 + b m + c = 0 é
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
onde a=5, b=-7 (atenção ao sinal na fórmula original) e c=-39. Aqui eu já tenho a forma 5m^2-7m-39=0, então a=5, b=-7, c=-39.
Calculo do discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 5 \cdot (-39) = 49 + 780 = 829.
Como \Delta>0, há duas raízes reais distintas. Aplicando a fórmula:
m = \frac{7 \pm \sqrt{829}}{10}.
(Observe que substituí -b por 7 porque b=-7.)
Se quiser ter uma noção numérica rápida (apenas para intuição): \sqrt{829}\approx 28{,}792, então as duas soluções são aproximadamente m\approx \dfrac{7+28{,}792}{10}\approx 3{,}579 e m\approx \dfrac{7-28{,}792}{10}\approx -2{,}179. Mas a forma exata é melhor para provas.

Passo 9

Verificação conceitual final (por que não existe outro caso oculto):
  • Poderia haver uma solução extra se os vetores diretores fossem paralelos (então as retas seriam sempre coplanares). Verificamos isso antes: resolver (2,m,5) = k(-1,1,m) para algum k não tem solução consistente em m (compara-se componente a componente e obtém-se contradição). Assim não há caso paralelo que escaparia da equação obtida.
  • Portanto as únicas m que tornam as retas coplanares são as obtidas pela equação quadrática acima.

Resposta

\displaystyle m=\frac{7+\sqrt{829}}{10}
\displaystyle m=\frac{7-\sqrt{829}}{10}

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