Determine as equações reduzidas da reta r que passa pelo ponto P(3,5,2) e é simultaneamente ortogonal ao eixo x e à reta s : \left\{\begin{array}{c}x=1 \\\ \frac{y-3}{-2}=z+1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida da reta r\) que satisfaz duas condições ao mesmo tempo: 1. Passa pelo ponto \(P(3,5,2)\). 2. É ortogonal ao eixo \(x\) e também ortogonal à reta \(s\) dada por \[\begin{cases} x=1\\[4pt] \displaystyle\frac{y-3}{-2}=z+1 \end{cases}
Informações relevantes fornecidas: as coordenadas do ponto P\] e a descrição da reta \(s em forma mista (uma equação para x e uma relação entre y e z). O objetivo final é escrever as equações reduzidas (forma simétrica) da reta r.]

Passo 2

Entendendo "ortogonal ao eixo x".
O eixo x tem direção dada pelo vetor (1,0,0). Se uma reta tem vetor diretor \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) e é ortogonal ao eixo x, então o produto escalar entre \mathbf{v} e (1,0,0) deve ser zero:
\mathbf{v}\cdot(1,0,0)=v_x\cdot 1 + v_y\cdot 0 + v_z\cdot 0 = v_x = 0.
Portanto, qualquer vetor diretor de r tem necessariamente a forma \mathbf{v}=(0,a,b), ou seja, componente x nula.

Passo 3

Agora encontramos o vetor diretor da reta s. A equação dada para s é
x=1,\qquad \frac{y-3}{-2}=z+1.
Para parametizar, introduzo um parâmetro t tal que z = t. Da relação temos
\frac{y-3}{-2}=t+1 \quad\Rightarrow\quad y-3=-2(t+1)=-2t-2 \quad\Rightarrow\quad y=-2t+1.
Assim uma parametrização de s é
x=1,\quad y=-2t+1,\quad z=t.
O vetor diretor de s é obtido pelos coeficientes de t: \mathbf{d}_s=(0,-2,1).

Passo 4

A reta r precisa ser ortogonal também à reta s. Isso significa que o vetor diretor \mathbf{v}=(0,a,b) de r deve satisfazer
\mathbf{v}\cdot\mathbf{d}_s = 0.
Calculando o produto escalar:
(0,a,b)\cdot(0,-2,1)=0\cdot 0 + a\cdot(-2) + b\cdot 1 = -2a + b = 0.
Dessa equação obtemos b = 2a. Logo qualquer vetor diretor de r tem a forma
\mathbf{v}=(0,a,2a)=a(0,1,2).
Escolhendo a=1 (qualquer múltiplo serve), tomamos o vetor diretor prático
\mathbf{v}=(0,1,2).

Passo 5

Montando a reta r que passa por P(3,5,2) e tem vetor diretor \mathbf{v}=(0,1,2). A forma vetorial/paramétrica é
(x,y,z)=(3,5,2)+t(0,1,2).
Escrevendo por componentes:
x=3,\qquad y=5+t,\qquad z=2+2t,\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 6

Passando para as equações reduzidas (forma simétrica). Normalmente escrevemos
\frac{x-x_0}{v_x}=\frac{y-y_0}{v_y}=\frac{z-z_0}{v_z},
mas aqui v_x=0, então não podemos dividir por zero. O procedimento correto é fixar a coordenada cuja componente direcional é zero e escrever as frações para as outras duas coordenadas. Assim as equações reduzidas de r são
x=3\quad\text{e}\quad \frac{y-5}{1}=\frac{z-2}{2}.

Resposta

x=3
\dfrac{y-5}{1}=\dfrac{z-2}{2}

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