(a) Calcule os valores de V harm (x) e V anarm (x) para x=0,1.
(Resposta em joules)
(b) Identifique e quantifique as contribuições individuais dos termos cúbico ( alpha x^3 ) e quártico (beta x^4) no potencial anarmônico para x=0,1.
© Explique numericamente qual termo ( alpha x^3 o u beta x^4 ) tem maior impacto no potencial a x=0,1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui envolve calcular dois tipos de potenciais: o potencial harmônico ( Vharm(x)) e o potencial anarmônico ( Vanharm(x)). Além disso, vamos analisar como os termos cúbico ( alpha x^3) e quártico ( beta x^4) contribuem para o potencial anarmônico nos pontos x=0 e x=1. Para isso, vamos precisar entender as fórmulas desses potenciais e como substituir os valores de x para obter as respostas em joules.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um potencial harmônico. Ele geralmente é dado pela fórmula:
Vharm(x) = 12 k x^2
Aqui, k é a constante do sistema (como a constante elástica de uma mola) e x é a posição.
Já o potencial anarmônico inclui termos adicionais que tornam o sistema mais complexo, e é dado por:
Vanharm(x) = alpha x^3 + beta x^4
Os termos alpha x^3 e beta x^4 representam as contribuições cúbica e quártica, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular os valores desses potenciais para x=0 e x=1.
Para x = 0:
  • Potencial harmônico:
Vharm(0) = 12 k (0)^2 = 0 J
  • Potencial anarmônico:
Vanharm(0) = alpha (0)^3 + beta (0)^4 = 0 J
Para x = 1:
  • Potencial harmônico:
Vharm(1) = 12 k (1)^2 = 12 k J
  • Potencial anarmônico:
Vanharm(1) = alpha (1)^3 + beta (1)^4 = alpha + beta J

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b) do exercício, onde precisamos identificar e quantificar as contribuições dos termos cúbico ( alpha x^3) e quártico ( beta x^4) no potencial anarmônico para x=0 e x=1.
Para x = 0:
  • Termo cúbico: alpha (0)^3 = 0
  • Termo quártico: beta (0)^4 = 0
Então, ambos os termos não contribuem para o potencial anarmônico quando x=0.
Para x = 1:
  • Termo cúbico: alpha (1)^3 = alpha
  • Termo quártico: beta (1)^4 = beta
Portanto, no ponto x=1, as contribuições são alpha para o termo cúbico e beta para o termo quártico.

Passo 5

Finalmente, na parte ©, vamos entender qual dos termos ( alpha x^3 ou beta x^4) tem maior impacto no potencial anarmônico nos pontos x=0 e x=1.
Para x = 0:
Como vimos, ambos os termos são zero, então nenhum dos termos tem impacto.
Para x = 1:
Aqui, as contribuições são alpha e beta. Para saber qual tem maior impacto, comparamos os valores de alpha e beta. Se, por exemplo, beta > alpha, então o termo quártico tem maior impacto, e vice-versa.

Resposta

(a) Para x=0:
Vharm(0) = 0 J
Vanharm(0) = 0 J
Para x=1:
Vharm(1) = 12 k J
Vanharm(1) = alpha + beta J
(b) Contribuições individuais no potencial anarmônico:
  • Para x=0: 0 J (ambos os termos)
  • Para x=1: Termo cúbico: alpha J; Termo quártico: beta J
© No ponto x=1, o termo que tem maior impacto no potencial anarmônico depende dos valores de alpha e beta. Se beta > alpha, o termo quártico ( beta x^4) tem maior impacto; caso contrário, o termo cúbico ( alpha x^3) domina.

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