(a) Escreva a expressão para a velocidade limite Vlim.
(b) Calcule Vlim para uma esfera de densidade rhos=2500 kg / m^3 em água ( rhof=1000 kg / m^3 ).
(Resposta em m/s)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício tem duas partes. Na primeira, a gente precisa escrever a expressão para a velocidade limite ($ V_{lim} $), que é a velocidade máxima que um objeto atinge quando as forças que atuam sobre ele estão em equilíbrio. O conteúdo aqui envolve física de fluidos, especificamente as forças de peso, empuxo e arrasto. Para resolver, vamos precisar entender como essas forças se relacionam e aplicam nas fórmulas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a velocidade limite ($ V_{lim} $). Quando um objeto cai em um fluido (como a água), ele sofre três forças principais:
  1. Força Peso ($ F_p $): É a força devido à gravidade, calculada por $ F_p = m \cdot g $, onde $ m $ é a massa do objeto e $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,81 , m/s^2 $).
  2. Força de Empuxo ($ F_e $): É a força para cima exercida pelo fluido, dada por $ F_e = \rho_f \cdot V \cdot g $, onde $ \rho_f $ é a densidade do fluido e $ V $ é o volume do objeto.
  3. Força de Arrasto ($ F_d $): É a resistência do fluido ao movimento do objeto, calculada por $ F_d = \frac{1}{2} C_d \rho_f A V_{lim}^2 $, onde $ C_d $ é o coeficiente de arrasto, $ A $ é a área de seção transversal do objeto, e $ V_{lim} $ é a velocidade limite.
Na velocidade limite, a força peso menos a força de empuxo é igual à força de arrasto:
Vlim
Substituindo as fórmulas:
Fp
Agora, vamos isolar $ V_{lim} $:
Fp = m cdot g
Para esferas, podemos simplificar essa expressão considerando que o volume $ V $ e a área $ A $ estão relacionados ao raio $ r $:
m
g
Substituindo esses valores na fórmula, obtemos uma expressão simplificada para $ V_{lim} $.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ V_{lim} $ para uma esfera com densidade $ \rho_s = 2500 , kg/m^3 $ em água, onde a densidade da água é $ \rho_f = 1000 , kg/m^3 $.
Primeiro, precisamos considerar a diferença de densidade entre a esfera e a água, que é $ \rho_s - \rho_f = 1500 , kg/m^3 $.
Assumindo que a esfera atinge a velocidade limite quando as forças estão em equilíbrio, e supondo que o coeficiente de arrasto $ C_d $ para uma esfera é aproximadamente 0,47, a fórmula simplificada fica:
Vlim
No entanto, para calcular numericamente, precisamos do raio $ r $ da esfera. Como o enunciado não forneceu o valor de $ r $, vamos supor que a esfera tem um raio de $ 0,05 , m $ (5 cm) para prosseguir com o cálculo.
Substituindo os valores:
rhos = 2500 , kg/m^3
Calculando o numerador:
rhof = 1000 , kg/m^3
E o denominador:
rhos - rhof = 1500 , kg/m^3
Agora, dividindo:
Cd
Finalmente, tirando a raiz quadrada:
Vlim = raiz 2(rhos - rhof) g rCd rhof

Resposta

A velocidade limite $ V_{lim} $ para a esfera é aproximadamente 1,77 m/s.

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