(a) Escreva a expressão para a velocidade limite Vlim.
(b) Calcule Vlim para uma esfera de densidade
água (
).
(Resposta em m/s)
(b) Calcule Vlim para uma esfera de densidade
(Resposta em m/s)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício tem duas partes. Na primeira, a gente precisa escrever a expressão para a velocidade limite ($ V_{lim} $), que é a velocidade máxima que um objeto atinge quando as forças que atuam sobre ele estão em equilíbrio. O conteúdo aqui envolve física de fluidos, especificamente as forças de peso, empuxo e arrasto. Para resolver, vamos precisar entender como essas forças se relacionam e aplicam nas fórmulas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a velocidade limite ($ V_{lim} $). Quando um objeto cai em um fluido (como a água), ele sofre três forças principais:
-
Força Peso ($ F_p $): É a força devido à gravidade, calculada por $ F_p = m \cdot g $, onde $ m $ é a massa do objeto e $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,81 , m/s^2 $).
-
Força de Empuxo ($ F_e $): É a força para cima exercida pelo fluido, dada por $ F_e = \rho_f \cdot V \cdot g $, onde $ \rho_f $ é a densidade do fluido e $ V $ é o volume do objeto.
-
Força de Arrasto ($ F_d $): É a resistência do fluido ao movimento do objeto, calculada por $ F_d = \frac{1}{2} C_d \rho_f A V_{lim}^2 $, onde $ C_d $ é o coeficiente de arrasto, $ A $ é a área de seção transversal do objeto, e $ V_{lim} $ é a velocidade limite.
Na velocidade limite, a força peso menos a força de empuxo é igual à força de arrasto:
Substituindo as fórmulas:
Agora, vamos isolar $ V_{lim} $:
Para esferas, podemos simplificar essa expressão considerando que o volume $ V $ e a área $ A $ estão relacionados ao raio $ r $:
Substituindo esses valores na fórmula, obtemos uma expressão simplificada para $ V_{lim} $.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ V_{lim} $ para uma esfera com densidade $ \rho_s = 2500 , kg/m^3 $ em água, onde a densidade da água é $ \rho_f = 1000 , kg/m^3 $.
Primeiro, precisamos considerar a diferença de densidade entre a esfera e a água, que é $ \rho_s - \rho_f = 1500 , kg/m^3 $.
Assumindo que a esfera atinge a velocidade limite quando as forças estão em equilíbrio, e supondo que o coeficiente de arrasto $ C_d $ para uma esfera é aproximadamente 0,47, a fórmula simplificada fica:
No entanto, para calcular numericamente, precisamos do raio $ r $ da esfera. Como o enunciado não forneceu o valor de $ r $, vamos supor que a esfera tem um raio de $ 0,05 , m $ (5 cm) para prosseguir com o cálculo.
Substituindo os valores:
Calculando o numerador:
E o denominador:
Agora, dividindo:
Finalmente, tirando a raiz quadrada:
Resposta
A velocidade limite $ V_{lim} $ para a esfera é aproximadamente 1,77 m/s.