1. Considere a função f(x ; y)=\sqrt{y} \cos (\ln x). Calcule, aplicando diferenciais, o valor aproximado da função no ponto (1,05 ; 3,95)

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação do valor da função f(x;y)=\sqrt{y}\cos(\ln x) no ponto (1,05;3,95) usando diferenciais (ou aproximação linear).
Informações dadas:
  • Função: f(x;y)=\sqrt{y}\cos(\ln x).
  • Ponto onde queremos aproximar: (x,y)=(1,05;3,95).
O que devemos encontrar:
  • Um valor aproximado de f(1,05;3,95) obtido por aproximação via diferenciais (linearização) a partir de um ponto próximo e conveniente.

Passo 2

Explicando a ideia (tipo aula rápida, sem enrolação): para uma função de duas variáveis f(x,y), se estamos num ponto base (x_0,y_0) e queremos o valor em (x_0+\Delta x,\,y_0+\Delta y) com \Delta x,\Delta y pequenos, podemos usar a aproximação linear (diferenciais):
f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\approx f(x_0,y_0)+\mathrm{d}f,
onde a diferencial \mathrm{d}f é dada por
\mathrm{d}f=f_x(x_0,y_0)\,\Delta x+f_y(x_0,y_0)\,\Delta y.
Aqui f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente. A ideia: a superfície z=f(x,y) é aproximada localmente por um plano tangente; esse plano dá a melhor aproximação linear.
Escolha do ponto base: escolhe-se (x_0,y_0) próximo de (1,05;3,95) e que torne contas fáceis. O ponto natural é (1,4) porque \ln 1=0 e \sqrt{4}=2, então f(1,4) fica simples. Vamos portanto tomar
(x_0,y_0)=(1,4),\qquad \Delta x=1,05-1=0,05,\qquad \Delta y=3,95-4=-0,05.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais (explicando regras usadas): f(x,y)=y^{1/2}\cos(\ln x).
  • Para f_x: tratar y^{1/2} como constante e derivar \cos(\ln x) em relação a x. Pela regra da cadeia, \dfrac{d}{dx}\cos(\ln x)=-\sin(\ln x)\cdot\dfrac{d}{dx}(\ln x)=-\dfrac{1}{x}\sin(\ln x). Logo
f_x(x,y)=-\frac{\sqrt{y}}{x}\sin(\ln x).
  • Para f_y: tratar \cos(\ln x) como constante e derivar y^{1/2} em relação a y. A derivada de y^{1/2} é \dfrac{1}{2}y^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{y}}. Assim
f_y(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}\cos(\ln x).
Comentário sobre significado: f_x é a taxa de variação de f quando x varia (mantendo y fixo); f_y é a taxa quando y varia (mantendo x fixo).

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto base (1,4) e calcular \Delta x,\Delta y.
Primeiro valores simples no ponto base:
\ln 1=0,\qquad \sin(0)=0,\qquad \cos(0)=1,\qquad \sqrt{4}=2.
Avaliações:
f_x(1,4)=-\frac{\sqrt{4}}{1}\sin(\ln 1)=-\frac{2}{1}\cdot 0=0.
f_y(1,4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}\cos(\ln 1)=\frac{1}{2\cdot 2}\cdot 1=\frac{1}{4}.
Diferenças (pequenas variações):
\Delta x=1,05-1=0,05,\qquad \Delta y=3,95-4=-0,05.

Passo 5

Construir a aproximação linear usando \mathrm{d}f=f_x\Delta x+f_y\Delta y e então
f(1,05,\,3,95)\approx f(1,4)+\mathrm{d}f.
Calcular f(1,4):
f(1,4)=\sqrt{4}\cos(\ln 1)=2\cdot 1=2.
Calcular \mathrm{d}f:
\mathrm{d}f=f_x(1,4)\Delta x+f_y(1,4)\Delta y=0\cdot 0,05+\frac{1}{4}\cdot(-0,05)=-\frac{0,05}{4}=-0,0125.
Portanto a aproximação é
f(1,05,\,3,95)\approx 2-0,0125=1,9875.

Resposta

1,9875

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