- Considere a função
. Calcule, aplicando diferenciais, o valor aproximado da função no ponto
Passo 1
O enunciado pede uma aproximação do valor da função
no ponto
usando diferenciais (ou aproximação linear).
Informações dadas:
- Função:
. - Ponto onde queremos aproximar:
.
O que devemos encontrar:
- Um valor aproximado de
obtido por aproximação via diferenciais (linearização) a partir de um ponto próximo e conveniente.
Passo 2
Explicando a ideia (tipo aula rápida, sem enrolação): para uma função de duas variáveis
, se estamos num ponto base
e queremos o valor em
com
pequenos, podemos usar a aproximação linear (diferenciais):
onde a diferencial
é dada por
Aqui
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente. A ideia: a superfície
é aproximada localmente por um plano tangente; esse plano dá a melhor aproximação linear.
Escolha do ponto base: escolhe-se
próximo de
e que torne contas fáceis. O ponto natural é
porque
e
, então
fica simples. Vamos portanto tomar
Passo 3
Calculando as derivadas parciais (explicando regras usadas):
.
- Para
: tratar como constante e derivar em relação a . Pela regra da cadeia, . Logo
- Para
: tratar como constante e derivar em relação a . A derivada de é . Assim
Comentário sobre significado:
é a taxa de variação de
quando
varia (mantendo
fixo);
é a taxa quando
varia (mantendo
fixo).
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto base
e calcular
.
Primeiro valores simples no ponto base:
Avaliações:
Diferenças (pequenas variações):
Passo 5
Construir a aproximação linear usando
e então
Calcular
:
Calcular
:
Portanto a aproximação é