1. As dimensões de uma caixa retangular são 5 , 6 e 8 polegadas. Se cada dimensão aumenta em 0,01 polegada, qual é aproximadamente o volume resultante.

Passo 1

O enunciado dá as dimensões de uma caixa retangular e um pequeno aumento em cada dimensão. Dados fornecidos:
  • Comprimento original: x=5 polegadas.
  • Largura original: y=6 polegadas.
  • Altura original: z=8 polegadas.
  • Cada dimensão aumenta em 0,01 polegada, isto é:
    • \Delta x=0,01 polegada,
    • \Delta y=0,01 polegada,
    • \Delta z=0,01 polegada.
      O que o problema pede:
  • Calcular, aproximadamente, o volume resultante após esses aumentos nas três dimensões.

Passo 2

Definir a fórmula do volume e calcular o volume inicial.
  • Para uma caixa retangular, o volume é dado por
V = x y z,
onde x, y e z são comprimento, largura e altura, respectivamente.
  • Volume original:
V_0 = 5\cdot 6\cdot 8 = 240\\ \text{polegadas}^3.

Passo 3

Explicar a ideia da aproximação linear (diferenciais).
  • Quando as variações \Delta x,\Delta y,\Delta z são pequenas, o aumento do volume pode ser aproximado pela diferencial total dV, que é a soma das contribuições lineares de cada variação.
  • A fórmula da aproximação linear (primeira ordem) é
dV \approx \frac{\partial V}{\partial x}\,dx + \frac{\partial V}{\partial y}\,dy + \frac{\partial V}{\partial z}\,dz,
onde dx,dy,dz são as pequenas variações (aqui dx=\Delta x, etc.). Essa aproximação ignora termos de ordem superior (como produtos \Delta x\Delta y), que serão muito pequenos quando \Delta é pequeno.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de V e avaliá-las no ponto dado.
  • Derivadas parciais:
\frac{\partial V}{\partial x} = y z,\qquad \frac{\partial V}{\partial y} = x z,\qquad \frac{\partial V}{\partial z} = x y.
  • Avaliando em (x,y,z)=(5,6,8):
\frac{\partial V}{\partial x}\Big|_{(5,6,8)} = 6\cdot 8 = 48,
\frac{\partial V}{\partial y}\Big|_{(5,6,8)} = 5\cdot 8 = 40,
\frac{\partial V}{\partial z}\Big|_{(5,6,8)} = 5\cdot 6 = 30.

Passo 5

Calcular a variação aproximada do volume dV usando dx=dy=dz=0,01.
  • Substituindo na fórmula da diferencial:
dV \approx 48\cdot 0,01 + 40\cdot 0,01 + 30\cdot 0,01.
  • Fazer as contas passo a passo:
48\cdot 0,01 = 0,48,
40\cdot 0,01 = 0,40,
30\cdot 0,01 = 0,30.
  • Somando:
dV \approx 0,48 + 0,40 + 0,30 = 1,18\\ \text{polegadas}^3.

Passo 6

Calcular o volume aproximado resultante somando V_0 e dV.
V_{\text{aprox}} = V_0 + dV = 240 + 1,18 = 241,18\\ \text{polegadas}^3.

Passo 7

Verificação rápida (opcional) e comentário sobre a precisão da aproximação.
  • Se multiplicarmos exatamente (5{+}0,01)(6{+}0,01)(8{+}0,01) obtém-se
(5{+}0,01)(6{+}0,01)(8{+}0,01) = 241,181901\\ \text{polegadas}^3.
  • A diferença entre o valor exato e a aproximação linear é 0,001901\\ \text{polegadas}^3, muito pequena. Isso mostra que a aproximação linear (diferenciais) funcionou muito bem porque as variações são pequenas.

Resposta

241,18\\ \text{polegadas}^3

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