As dimensões de uma caixa retangular são 5 , 6 e 8 polegadas. Se cada dimensão aumenta em 0,01 polegada, qual é aproximadamente o volume resultante.
Passo 1
O enunciado dá as dimensões de uma caixa retangular e um pequeno aumento em cada dimensão. Dados fornecidos:
Comprimento original: x=5 polegadas.
Largura original: y=6 polegadas.
Altura original: z=8 polegadas.
Cada dimensão aumenta em 0,01 polegada, isto é:
\Delta x=0,01 polegada,
\Delta y=0,01 polegada,
\Delta z=0,01 polegada.
O que o problema pede:
Calcular, aproximadamente, o volume resultante após esses aumentos nas três dimensões.
Passo 2
Definir a fórmula do volume e calcular o volume inicial.
Para uma caixa retangular, o volume é dado por
V = x y z,
onde x, y e z são comprimento, largura e altura, respectivamente.
Volume original:
V_0 = 5\cdot 6\cdot 8 = 240\\ \text{polegadas}^3.
Passo 3
Explicar a ideia da aproximação linear (diferenciais).
Quando as variações \Delta x,\Delta y,\Delta z são pequenas, o aumento do volume pode ser aproximado pela diferencial total dV, que é a soma das contribuições lineares de cada variação.
A fórmula da aproximação linear (primeira ordem) é
onde dx,dy,dz são as pequenas variações (aqui dx=\Delta x, etc.). Essa aproximação ignora termos de ordem superior (como produtos \Delta x\Delta y), que serão muito pequenos quando \Delta é pequeno.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de V e avaliá-las no ponto dado.
Derivadas parciais:
\frac{\partial V}{\partial x} = y z,\qquad \frac{\partial V}{\partial y} = x z,\qquad \frac{\partial V}{\partial z} = x y.
A diferença entre o valor exato e a aproximação linear é 0,001901\\ \text{polegadas}^3, muito pequena. Isso mostra que a aproximação linear (diferenciais) funcionou muito bem porque as variações são pequenas.