Calcule a variação de energia interna quando 1 mol de água ( \mathrm{MM}=18 \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1} ) é aquecido de 25^{\circ} \mathrm{C} a 30^{\circ} \mathrm{C} à pressão constante de 1 atm . Considere que a densidade da água nessas duas temperaturas seja de 0,9956 \mathrm{~g} \mathrm{~cm}^{-3} e 0,9970 \mathrm{g} \mathrm{cm}^{-3}, respectivamente. Assuma que o calor específico da água é de 1,00 \mathrm{cal} \mathrm{g}^{-1}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}.
[\mathrm{R}=376,6 \mathrm{~J}]

Passo 1

O que o problema pede: calcular a variação da energia interna quando 1 mol de água é aquecido de 25^\circ\mathrm{C} para 30^\circ\mathrm{C} à pressão constante de 1 atm.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Massa molar:}\quad \mathrm{MM}=18\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}\\\ &\text{Quantidade de substância:}\quad n=1\\ \mathrm{mol}\\\ &\text{Temperaturas:}\quad T_1=25^\circ\mathrm{C},\\ T_2=30^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{Densidade em }25^\circ\mathrm{C}:\quad \rho_1=0{,}9956\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}\\\ &\text{Densidade em }30^\circ\mathrm{C}:\quad \rho_2=0{,}9970\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}\\\ &\text{Calor específico:}\quad c=1{,}00\\ \mathrm{cal\\ g^{-1}\,^\circ C^{-1}}\\\ &\text{Pressão:}\quad p=1\\ \mathrm{atm}\\\ &\text{Constante de conversão que usaremos:}\quad 1\\ \mathrm{cal}=4{,}184\\ \mathrm{J} \end{aligned}âíãã
Observação (apenas listando dados): o enunciado deu as duas densidades; usaremos ambas para obter a variação de volume \Delta V.

Passo 2

Fórmula fundamental e convenções de sinais. Vou explicar por que usamos cada coisa.
Energeticamente, a primeira lei diz:
\Delta U = q + w,
onde \Delta U é a variação de energia interna, q é o calor trocado (positivo se recebido pelo sistema) e w é o trabalho realizado SOBRE o sistema (positivo se realizado sobre o sistema).
Para trabalho de pressão-volume, com pressão externa approximada por p,
w = -p\,\Delta V,
onde \Delta V=V_2-V_1 é a variação do volume do sistema. O sinal vem da convenção: se o sistema expande ( \Delta V>0) ele realiza trabalho sobre o meio e w<0.
Como o processo é à pressão constante, o calor trocado é o calor a pressão constante, que chamo de q_p. Substituindo,
\Delta U = q_p - p\,\Delta V.
Aqui:
  • \Delta U (J) é o que queremos.
  • q_p (J) é o calor absorvido a pressão constante.
  • p (Pa) é a pressão externa.
  • \Delta V ( \mathrm{m^3}) é a variação de volume do sistema.
Para um corpo sólido ou líquido, q_p pode ser calculado por:
q_p = m\,c\,\Delta T,
onde m é a massa (g), c o calor específico ( \mathrm{cal\\ g^{-1}\,^\circ C^{-1}}) e \Delta T=T_2-T_1 (^\circ C). Depois convertamos para joules.

Passo 3

Calcular a massa do sistema (a partir da quantidade de matéria).
Como temos n=1\\ \mathrm{mol} e \mathrm{MM}=18\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}, a massa é
m = n\cdot \mathrm{MM} = 1\cdot 18 = 18\\ \mathrm{g}.

Passo 4

Calcular o calor trocado q_p.
Usando q_p=m c \Delta T com \Delta T=30-25=5^\circ\mathrm{C}:
q_p = 18\\ \mathrm{g}\times 1{,}00\\ \mathrm{cal\\ g^{-1}\,^\circ C^{-1}}\times 5\\ ^\circ\mathrm{C}=90\\ \mathrm{cal}.
Converter para joules com 1\\ \mathrm{cal}=4{,}184\\ \mathrm{J}:
q_p = 90\\ \mathrm{cal}\times 4{,}184\\ \mathrm{J\;cal^{-1}} = 376{,}56\\ \mathrm{J}.
(Nota didática: este valor é praticamente o que o enunciado esperava — por isso o número 376{,}6\\ \mathrm{J} fornecido.)

Passo 5

Calcular os volumes inicial e final a partir das densidades.
Fórmula: V=\dfrac{m}{\rho}. Usamos as densidades dadas em \mathrm{g\\ cm^{-3}}, então os volumes saem em \mathrm{cm^3}.
Volume em 25^\circ\mathrm{C}:
V_1 = \frac{18\\ \mathrm{g}}{0{,}9956\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}} = \frac{180000}{9956}\\ \mathrm{cm^3} \approx 18{,}079587\\ \mathrm{cm^3}.
Volume em 30^\circ\mathrm{C}:
V_2 = \frac{18\\ \mathrm{g}}{0{,}9970\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}} = \frac{180000}{9970}\\ \mathrm{cm^3} \approx 18{,}0541625\\ \mathrm{cm^3}.
(Expliquei acima como calculei as frações; é só dividir massa por densidade.)

Passo 6

Calcular \Delta V e converter para \mathrm{m^3}.
\Delta V = V_2 - V_1 \approx 18{,}0541625 - 18{,}079587 = -0{,}0254245\\ \mathrm{cm^3}.
Converter para \mathrm{m^3} usando 1\\ \mathrm{cm^3}=10^{-6}\\ \mathrm{m^3}:
\Delta V \approx -0{,}0254245\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^3} = -2{,}54245\times 10^{-8}\\ \mathrm{m^3}.
Observação didática: o sinal negativo indica que o volume diminuiu (pequena contração) ao aquecer segundo os números dados.

Passo 7

Calcular o termo p\,\Delta V.
Converter a pressão para pascal: 1\\ \mathrm{atm}=1{,}01325\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
p\,\Delta V = 1{,}01325\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}\times (-2{,}54245\times 10^{-8}\\ \mathrm{m^3}) \approx -2{,}576\times 10^{-3}\\ \mathrm{J}.
Interpretação: p\Delta V é muito pequeno (da ordem de 10^{-3}\\ \mathrm{J}) comparado ao calor q_p (centenas de joules). Isso significa que, para líquidos, o termo de expansão é geralmente negligenciável.

Passo 8

Calcular a variação de energia interna usando \Delta U = q_p - p\,\Delta V.
Substituindo os valores numéricos:
\Delta U = 376{,}56\\ \mathrm{J} - (-2{,}576\times 10^{-3}\\ \mathrm{J}) = 376{,}56\\ \mathrm{J} + 0{,}002576\\ \mathrm{J} \approx 376{,}5626\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma razoável (os dados têm três ou quatro dígitos relevantes), obtemos
\Delta U \approx 376{,}56\\ \mathrm{J}.
Comentário final didático: o termo -p\Delta V é tão pequeno que a variação de energia interna coincide praticamente com o calor absorvido q_p. Em provas, para líquidos costuma-se aceitar \Delta U\approx m c \Delta T quando p\Delta V é desprezível; aqui demonstramos numericamente essa justificativa.

Resposta

\Delta U \approx 376{,}56\\ \mathrm{J}

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