Calcule a variação de entropia quando 25 g de etanol, a 50^{\circ} \mathrm{C}, são despejados sobre 70 g de etanol, a 10^{\circ} \mathrm{C}, em um vaso termicamente isolado. Sabe-se que \mathrm{C}_{\mathrm{p}, \mathrm{m}}=111,5 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede a variação de entropia total quando 25\\ \mathrm{g} de etanol à 50^\circ\mathrm{C} são misturados com 70\\ \mathrm{g} de etanol à 10^\circ\mathrm{C} num vaso termicamente isolado. As informações fornecidas são:
m_1 = 25\\ \mathrm{g},\quad T_{1,\text{C}}=50^\circ\mathrm{C},
m_2 = 70\\ \mathrm{g},\quad T_{2,\text{C}}=10^\circ\mathrm{C},
C_{p,\mathrm{m}} = 111{,}5\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}},
o sistema é isolado (sem troca de calor com o ambiente) e devemos calcular \Delta S_{\text{total}}. Não há outras perguntas; queremos apenas a variação total de entropia do processo.

Passo 2

Vamos primeiro transformar as temperaturas dadas em Kelvin (sempre usar Kelvin em contas de entropia):
T_1 = 50 + 273{,}15 = 323{,}15\\ \mathrm{K},
T_2 = 10 + 273{,}15 = 283{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Explico como encontrar a temperatura de equilíbrio T_f. Como o recipiente é isolado, a energia interna total se conserva: o calor perdido pelo corpo mais quente é igual ao calor ganho pelo mais frio. Para cada porção (supondo C_{p,\mathrm{m}} constante), o calor trocado é q_i = n_i C_{p,\mathrm{m}}(T_i - T_f), onde n_i é o número de mols da porção i. Conservação de energia:
n_1 C_{p,\mathrm{m}}(T_1 - T_f) + n_2 C_{p,\mathrm{m}}(T_2 - T_f) = 0.
Como C_{p,\mathrm{m}} é o mesmo para os dois, ele cancela, e usando n_i = m_i/M (mesma massa molar M para ambas as porções), obtemos que T_f é a média ponderada pelas massas:
T_f = \frac{m_1 T_1 + m_2 T_2}{m_1 + m_2}.
Agora calculamos numericamente (a fórmula acima usa diretamente as massas em gramas e temperaturas em Kelvin):
T_f = \frac{25\cdot 323{,}15 + 70\cdot 283{,}15}{25 + 70} = \frac{27899{,}25}{95} = 293{,}6773684\\ \mathrm{K}.
Em graus Celsius isso é T_{f,\text{C}} \approx 293{,}6773684 - 273{,}15 = 20{,}527^\circ\mathrm{C}. Vou manter T_f = 293{,}6773684\\ \mathrm{K} para as contas.

Passo 4

Agora a fórmula para variação de entropia de cada porção: para um corpo que troca calor de forma reversível com capacidade calorífica constante, a variação de entropia ao ir de T_i para T_f é
\Delta S_i = \int_{T_i}^{T_f} \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T} = \int_{T_i}^{T_f} \frac{n_i C_{p,\mathrm{m}}\,dT}{T} = n_i C_{p,\mathrm{m}} \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).
Aqui n_i é o número de mols da porção i, C_{p,\mathrm{m}} é a capacidade molar a pressão constante (dada), e os T são em Kelvin. A variação total de entropia é
\Delta S_{\text{total}} = \Delta S_1 + \Delta S_2.

Passo 5

Precisamos dos números de mols. Usarei a massa molar do etanol \mathrm{M}=46{,}07\\ \mathrm{g\,mol^{-1}} (valor padrão conhecido para \mathrm{C_2H_5OH}):
n_1 = \frac{m_1}{M} = \frac{25}{46{,}07} = 0{,}5426038\\ \mathrm{mol},
n_2 = \frac{m_2}{M} = \frac{70}{46{,}07} = 1{,}5193962\\ \mathrm{mol}.
Calculo agora \Delta S_1 e \Delta S_2. Primeiro as razões das temperaturas:
\frac{T_f}{T_1} = \frac{293{,}6773684}{323{,}15} = 0{,}908701\dots,\qquad \ln\!\left(\frac{T_f}{T_1}\right) = -0{,}0955977\dots
\frac{T_f}{T_2} = \frac{293{,}6773684}{283{,}15} = 1{,}036466\dots,\qquad \ln\!\left(\frac{T_f}{T_2}\right) = 0{,}0358089\dots
Agora multiplicamos por n_i C_{p,\mathrm{m}} (lembre que C_{p,\mathrm{m}}=111{,}5\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}):
n_1 C_{p,\mathrm{m}} = 0{,}5426038\cdot 111{,}5 = 60{,}5003\\ \mathrm{J\,K^{-1}},
n_2 C_{p,\mathrm{m}} = 1{,}5193962\cdot 111{,}5 = 169{,}415\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Portanto
\Delta S_1 = 60{,}5003 \times (-0{,}0955977) = -5{,}7880\\ \mathrm{J\,K^{-1}},
\Delta S_2 = 169{,}415 \times 0{,}0358089 = 6{,}0690\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 6

Somando as duas contribuições:
\Delta S_{\text{total}} = -5{,}7880 + 6{,}0690 = 0{,}2810\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
O resultado é positivo (pequeno), como esperado pela segunda lei da termodinâmica para um processo espontâneo de mistura/igualização de temperaturas em um sistema isolado.

Resposta

0,281\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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