Calcule a variação da entropia molar do alumínio quando este é aquecido de 600 até 700 { }^{\circ} \mathrm{C}. O ponto de fusão do alumínio é 660^{\circ} \mathrm{C} e o calor de fusão é 393 \mathrm{~J} \mathrm{~g}^{-1}, e as capacidades caloríficas do sólido e do líquido são 31,8 e 34,4 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1}, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede a variação da entropia molar do alumínio ao aquecê‑lo de 600\\ ^\circ\mathrm{C} até 700\\ ^\circ\mathrm{C}. Dados relevantes fornecidos:
\text{ponto de fusão: }660\\ ^\circ\mathrm{C}ã
\text{calor de fusão: }393\\ \mathrm{J\;g^{-1}}ã
C_{p,\text{sólido}}=31{,}8\\ \mathrm{J\;K^{-1}\;mol^{-1}}ó
C_{p,\text{líquido}}=34{,}4\\ \mathrm{J\;K^{-1}\;mol^{-1}}í
A temperatura inicial 600\\ ^\circ\mathrm{C} fica abaixo do ponto de fusão e a final 700\\ ^\circ\mathrm{C} fica acima, portanto o processo envolve: (i) aquecer o sólido de 600\\ ^\circ\mathrm{C} até 660\\ ^\circ\mathrm{C}, (ii) fusão a 660\\ ^\circ\mathrm{C} (troca de calor latente), e (iii) aquecer o líquido de 660\\ ^\circ\mathrm{C} até 700\\ ^\circ\mathrm{C}. Vamos calcular a variação de entropia molar somando as três contribuições.

Passo 2

Princípios e fórmulas que usamos (explicação didática):
  • Para aquecimento reversível a pressão constante com capacidade calorífica aproximadamente constante, a variação de entropia é
\Delta S_{\text{aquec.}}=\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_p}{T}\,dT = C_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right),
onde C_p é a capacidade calorífica molar (unidade \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}), e as temperaturas devem estar em kelvin ( \mathrm{K}). Por que? Porque entropia é definida como dS=\delta Q_\text{rev}/T e, em aquecimento reversível a pressão constante, \delta Q_\text{rev}=C_p\,dT.
  • Para mudança de fase (fusão) ocorrendo à temperatura de fusão T_{\text{fus}}, a variação de entropia associada ao calor latente é
\Delta S_{\text{fus}}=\frac{\Delta H_{\text{fus}}}{T_{\text{fus}}},
onde \Delta H_{\text{fus}} é o calor de fusão por mol (unidade \mathrm{J\,mol^{-1}}).
  • Logo, a variação total de entropia molar é
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{\text{sólido }(600\to660)}+\Delta S_{\text{fus}}+\Delta S_{\text{líquido }(660\to700)}.óí

Passo 3

Converter temperaturas para kelvin e obter \Delta H_{\text{fus}} por mol.
  • Temperaturas:
T_{i}=600\\ ^\circ\mathrm{C}=600+273{,}15=873{,}15\\ \mathrm{K},
T_{\text{fus}}=660\\ ^\circ\mathrm{C}=660+273{,}15=933{,}15\\ \mathrm{K},
T_{f}=700\\ ^\circ\mathrm{C}=700+273{,}15=973{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Converter o calor de fusão dado por grama para por mol. Usamos massa molar do alumínio M_{\mathrm{Al}} \approx 26{,}98\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}. Então
\Delta H_{\text{fus,molar}}=393\\ \mathrm{J\;g^{-1}}\times 26{,}98\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}=10603{,}1\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}
(arredondado sensato: 10603\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}).

Passo 4

Calcular a variação de entropia ao aquecer o sólido de 600\\ ^\circ\mathrm{C} até 660\\ ^\circ\mathrm{C}:
\Delta S_1 = C_{p,\text{sólido}}\ln\!\left(\frac{T_{\text{fus}}}{T_i}\right).ó
Substituindo:
\Delta S_1 = 31{,}8\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}\times \ln\!\left(\frac{933{,}15}{873{,}15}\right).
Calculemos o logaritmo e o produto:
\frac{933{,}15}{873{,}15}\approx 1{,}06852,\qquad \ln(1{,}06852)\approx 0{,}06624.
Portanto
\Delta S_1 \approx 31{,}8\times 0{,}06624 \approx 2{,}11\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.

Passo 5

Calcular a variação de entropia na fusão:
\Delta S_{\text{fus}}=\frac{\Delta H_{\text{fus,molar}}}{T_{\text{fus}}} =\frac{10603{,}1\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}}{933{,}15\\ \mathrm{K}}.
Fazendo a divisão:
\Delta S_{\text{fus}}\approx 11{,}36\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.

Passo 6

Calcular a variação de entropia ao aquecer o líquido de 660\\ ^\circ\mathrm{C} até 700\\ ^\circ\mathrm{C}:
\Delta S_2 = C_{p,\text{líquido}}\ln\!\left(\frac{T_f}{T_{\text{fus}}}\right).í
Substituindo:
\Delta S_2 = 34{,}4\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}\times \ln\!\left(\frac{973{,}15}{933{,}15}\right).
Calculemos:
\frac{973{,}15}{933{,}15}\approx 1{,}04287,\qquad \ln(1{,}04287)\approx 0{,}04200.
Portanto
\Delta S_2 \approx 34{,}4\times 0{,}04200 \approx 1{,}45\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.

Passo 7

Somar as três contribuições para obter a variação total de entropia molar:
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_1+\Delta S_{\text{fus}}+\Delta S_2 \approx 2{,}11+11{,}36+1{,}45=14{,}92\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
Interpretação curta e incentivo: esse número significa que, por mol de alumínio, a entropia aumentou cerca de 14{,}9\\ \mathrm{J\,K^{-1}} ao aquecer de 600\\ ^\circ\mathrm{C} a 700\\ ^\circ\mathrm{C}; fizemos as contas em etapas (sólido, fusão, líquido) porque a fusão é uma etapa de troca de calor sem variação de temperatura.

Resposta

14{,}9\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}

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