Questão 1 ( \mathbf{2 , 0} pontos): Um gás ideal monoatômico a 298 K e 1 bar é expandido de forma reversível e adiabática até que sua pressão seja igual a 0,5 bar. Calcule q por mol, w por mol e \Delta U_{m}. Considere C_{V, m}=\frac{3}{2} R.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas (tudo por mol):
  • Dados:
    • Temperatura inicial \;T_{1}=298\\ \mathrm{K}.
    • Pressão inicial \;P_{1}=1{,}00\\ \mathrm{bar}.
    • Pressão final \;P_{2}=0{,}50\\ \mathrm{bar}.
    • Capacidade calorífica molar a volume constante \;C_{V,m}=\dfrac{3}{2}R.
    • Considere gás ideal monoatômico e processo reversível e adiabático.
  • O que se pede:
    • q por mol (calor trocado por mol).
    • w por mol (trabalho por mol, usando a convenção \Delta U = q + w).
    • \Delta U_{m} (variação da energia interna por mol).

Passo 2

Entendendo o que significa “adiabático e reversível” e a consequência imediata: adiabático quer dizer que não há troca de calor entre sistema e vizinhança, então o calor trocado é zero. Sendo explícito:
q=0\\ \text{(por mol)}
Explicação curta: “adiabático” = sem transferência de calor; “reversível” apenas garante que usamos as relações das transformações reversíveis. Então já temos a resposta para q.

Passo 3

Precisamos relacionar pressões e temperaturas em uma adiabática reversível. Para isso precisamos do expoente adiabático \gamma definido por
\gamma=\frac{C_{p,m}}{C_{V,m}}=\frac{C_{V,m}+R}{C_{V,m}}=1+\frac{R}{C_{V,m}}.
Substituindo C_{V,m}=\dfrac{3}{2}R,
\gamma=1+\frac{R}{(3/2)R}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}.
Comentário: \gamma é adimensional e para um gás monoatômico ideal vale \gamma=5/3, que é usado nas fórmulas da adiabática.

Passo 4

Relação entre temperatura e pressão para uma adiabática reversível de um gás ideal:
T_{2}=T_{1}\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Calculemos o expoente:
\frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{\tfrac{5}{3}-1}{\tfrac{5}{3}}=\frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{5}{3}}=\frac{2}{5}=0{,}4.
Agora substituímos P_{2}/P_{1}=0{,}50 e T_{1}=298\\ \mathrm{K}:
T_{2}=298\left(0{,}50\right)^{0{,}4}.
Para calcular \left(0{,}50\right)^{0{,}4} podemos usar logaritmos:
\ln(0{,}50)=-0{,}693147\ldots,\quad 0{,}4\ln(0{,}50)=-0{,}277259\ldots,
\left(0{,}50\right)^{0{,}4}=e^{-0{,}277259\ldots}=0{,}757858\ldots
Logo
T_{2}=298\times 0{,}757858\ldots \approx 225{,}84\\ \mathrm{K}.
Interpretação: a temperatura cai porque o gás se expande adiabaticamente e faz trabalho.

Passo 5

Agora calculamos a variação da energia interna por mol. Para um gás ideal monoatômico:
\Delta U_{m}=C_{V,m}\,(T_{2}-T_{1}).
Calcule C_{V,m} numericamente usando R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}:
C_{V,m}=\frac{3}{2}R=\frac{3}{2}\times 8{,}314=12{,}471\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
Diferença de temperatura:
T_{2}-T_{1}=225{,}84-298=-72{,}16\\ \mathrm{K}\quad(\text{aprox.})
Portanto
\Delta U_{m}=12{,}471\times(-72{,}16)\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}\approx -900{,}07\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Arredondando razoavelmente: \Delta U_{m}\approx -900\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Explicação didática: energia interna do gás ideal monoatômico depende só de T; como T diminuiu, \Delta U é negativa.

Passo 6

Usamos a primeira lei para obter o trabalho. A primeira lei (convenção de química) é
\Delta U = q + w.
Temos q=0 (Passo 2) e \Delta U_{m}\approx -900\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} (Passo 5). Logo
w=\Delta U - q=\Delta U_{m}-0=\Delta U_{m}\approx -900\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Interpretação do sinal: w<0 significa que o trabalho líquido foi realizado pelo sistema sobre as vizinhanças (expansão faz o sistema gastar energia realizando trabalho).

Passo 7

Resumo numérico final (valores por mol, arredondados):
  • q=0\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
  • \Delta U_{m}\approx -900\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
  • w\approx -900\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Se quiser mais precisão: \Delta U_{m}=w\approx -900{,}1\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} com os números calculados acima.

Resposta

q=0\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}
w=-900\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}
\Delta U_{m}=-900\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}

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