Em uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal a 300 K de 1 até 10 L , cuja pressão inicial do gás é 20,27 bar, calcule (a) \Delta S para o gás e (b) \Delta S para todos os sistemas envolvidos (sistema + vizinhança).

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Perguntas do enunciado:
    • (a) Calcular \Delta S para o gás (variação de entropia do sistema).
    • (b) Calcular \Delta S para todos os sistemas envolvidos (sistema + vizinhança), ou seja, a variação total de entropia do universo para o processo.
  • Dados fornecidos:
    • Processo: expansão isotérmica reversível.
    • Temperatura: T=300\\ \mathrm{K}.
    • Volume inicial: V_i=1\\ \mathrm{L}.
    • Volume final: V_f=10\\ \mathrm{L}.
    • Pressão inicial: p_i=20{,}27\\ \mathrm{bar}.
  • Observações úteis (já que vou usar na resolução):
    • Vou precisar converter unidades para o Sistema Internacional (SI): 1\\ \mathrm{L}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3 e 1\\ \mathrm{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    • A equação dos gases ideais será usada para encontrar o número de mols do gás a partir de p_i, V_i e T.

Passo 2

Converter unidades e calcular a quantidade de matéria n usando a equação dos gases ideais.
  • Conversões:
    • V_i=1\\ \mathrm{L}=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3.
    • V_f=10\\ \mathrm{L}=10\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3=1\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^3.
    • p_i=20{,}27\\ \mathrm{bar}=20{,}27\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}=2{,}027\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • A equação dos gases ideais é
pV=nRT,
onde:
  • p é a pressão absoluta (em \mathrm{Pa}),
  • V é o volume (em \mathrm{m}^3),
  • n é o número de mols (em \mathrm{mol}),
  • R é a constante universal dos gases R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}},
  • T é a temperatura (em \mathrm{K}).
  • Isolando n:
n=\frac{p_i V_i}{R T}.
  • Substituindo os valores (mostrando contas):
p_i V_i = (2{,}027\times10^{6}\\ \mathrm{Pa})\times(1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3)=2{,}027\\ \mathrm{J}.
R T = 8{,}314462618\times300 = 2{,}494{,}338\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
n=\frac{2{,}027}{2{,}494{,}338}=0{,}8127\\ \mathrm{mol}\quad(\text{aprox. }4\\ \text{sf}).

Passo 3

Relembrando o conceito de entropia e a fórmula apropriada para um processo isotérmico reversível.
  • Definição prática: a variação de entropia de um sistema quando uma quantidade de calor reversível Q_{\text{rev}} entra (ou sai) a temperatura T é
\Delta S=\frac{Q_{\text{rev}}}{T}.
Isto é válido quando a temperatura é constante ao longo do processo (isotérmico).
  • Para um gás ideal em expansão isotérmica reversível, o calor trocado é igual ao trabalho realizado pelo gás (porque \Delta U=0 para gás ideal em isotermas), e o trabalho reversível vale
W_{\text{rev}}=nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Como Q_{\text{rev}}=W_{\text{rev}}, obtemos a fórmula prática usada em provas:
\Delta S_{\text{sistema}}=nR\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Aqui:
    • n é número de mols (calculado no passo anterior),
    • R é a constante dos gases,
    • V_f/V_i é a razão entre volumes final e inicial.

Passo 4

Calcular \Delta S do gás usando a fórmula e os valores conhecidos.
  • Primeiro calcule a razão de volumes:
\frac{V_f}{V_i}=\frac{10\\ \mathrm{L}}{1\\ \mathrm{L}}=10.
  • Aplicando a fórmula:
\Delta S_{\text{sistema}}=nR\ln\!\left(10\right).
  • Podemos usar a relação nR=\dfrac{p_i V_i}{T} (derivada da equação dos gases ideais) para calcular nR com menos passos numéricos:
nR=\frac{p_i V_i}{T}=\frac{2{,}027\\ \mathrm{J}}{300\\ \mathrm{K}}=6{,}7566667\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Usando \ln(10)=2{,}302585093,
\Delta S_{\text{sistema}}=6{,}7566667\times2{,}302585093=15{,}56\\ \mathrm{J\,K^{-1}}\quad(\text{aprox. }3\\ \text{sf}).

Passo 5

Verificar calculando Q_{\text{rev}} e confirmando \Delta S_{\text{sistema}}=Q_{\text{rev}}/T (checagem útil para prova).
  • O calor reversível trocado (igual ao trabalho reversível) é
Q_{\text{rev}}=nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=p_i V_i \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Numericamente:
Q_{\text{rev}}=2{,}027\\ \mathrm{J}\times2{,}302585093=4{,}667{,}34\\ \mathrm{J}\quad(\text{aprox. }4{,}67\times10^{3}\\ \mathrm{J}).
\frac{Q_{\text{rev}}}{T}=\frac{4{,}667{,}34}{300}=15{,}56\\ \mathrm{J\,K^{-1}},
que confirma o valor obtido no passo anterior.

Passo 6

Calcular a variação de entropia da vizinhança e a variação total (sistema + vizinhança).
  • A vizinhança (reservatório térmico) troca calor com o sistema: Q_{\text{viz}}=-Q_{\text{rev}} (o calor que sai da vizinhança entra no sistema).
  • A variação de entropia da vizinhança é, para uma troca de calor a temperatura T,
\Delta S_{\text{viz}}=\frac{Q_{\text{viz}}}{T}=\frac{-Q_{\text{rev}}}{T}=-\Delta S_{\text{sistema}}.
  • Portanto a variação total de entropia do universo é
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{\text{sistema}}+\Delta S_{\text{viz}}=\Delta S_{\text{sistema}}-\Delta S_{\text{sistema}}=0.
  • Interpretação física rápida e útil para prova: um processo reversível (aqui, isotérmico e reversível) não produz entropia líquida no universo; ele apenas transfere entropia entre sistema e vizinhança.

Resposta

(a) \Delta S_{\text{sistema}}=15{,}56\\ \mathrm{J\,K^{-1}}
(b) \Delta S_{\text{total}}=0

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