Um gás ideal monoatômico é aquecido de 300 até 1000 K e a pressão é alterada de 1 para 2 bar. Qual a variação da entropia molar do gás?

Passo 1

O enunciado pede a variação da entropia molar de um gás ideal monoatômico quando ele é aquecido de \,300\\ \mathrm{K} até \,1000\\ \mathrm{K} e simultaneamente a pressão varia de \,1\\ \mathrm{bar} para \,2\\ \mathrm{bar}.\n
Dados fornecidos:
  • Temperatura inicial \,T_1=300\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura final \,T_2=1000\\ \mathrm{K}.
  • Pressão inicial \,p_1=1\\ \mathrm{bar}.
  • Pressão final \,p_2=2\\ \mathrm{bar}.
O que precisamos encontrar:
  • A variação da entropia molar \,\Delta \bar{s} (unidade esperada: \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}).
Observação: as unidades de pressão estão em bar, mas só importa a razão p_2/p_1, então a unidade cancela (não é necessário converter para Pa).

Passo 2

Conceito fundamental e fórmula que vamos usar (explicada passo-a-passo).
Para um gás ideal, a variação infinitesimal da entropia molar \,d\bar{s} pode ser escrita de duas formas equivalentes. Uma forma conveniente quando as variáveis naturais são temperatura e pressão é:
\nd\bar{s}=\bar{c}_p\frac{dT}{T}-\bar{R}\frac{dp}{p}.\n
Explicando cada símbolo:
  • \,d\bar{s} é a variação infinitesimal da entropia por mol (J mol^{-1} K^{-1}).
  • \,\bar{c}_p é a capacidade calorífica molar a pressão constante (J mol^{-1} K^{-1}).
  • \,T é a temperatura absoluta (K).
  • \,\bar{R} é a constante universal dos gases \,(\bar{R}\approx 8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}).
  • \,p é a pressão (qualquer unidade consistente para razão).
Essa expressão vem da 1ª e 2ª leis para gás ideal e da relação \, \bar{c}_p-\bar{c}_v=\bar{R}. A forma significa: a entropia aumenta com aquecimento ( \bar{c}_p dT/T) e diminui se a pressão aumenta ( -\bar{R} dp/p).

Passo 3

Integração para obter a variação finita de entropia.
Assumindo que \bar{c}_p é constante no intervalo de temperaturas (modelo ideal monoatômico — justificarei o valor em seguida), integramos entre os estados 1 e 2:
\n\Delta \bar{s}=\int_{1}^{2} d\bar{s}=\bar{c}_p\int_{T_1}^{T_2}\frac{dT}{T}-\bar{R}\int_{p_1}^{p_2}\frac{dp}{p}.\n
As integrais são logaritmos naturais, então obtemos a fórmula prática:
\n\Delta \bar{s}=\bar{c}_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)-\bar{R}\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right).\n
Interpretação: a primeira parcela representa o efeito térmico (aquecimento) e a segunda parcela corrige pelo efeito da compressão/expansão devido à mudança de pressão.

Passo 4

Valor de \bar{c}_p para gás ideal monoatômico e constante universal.
Para um gás ideal monoatômico (átomos sem graus de liberdade internos além da translação), as capacidades molares são constantes e valem:
\n\bar{c}_v=\tfrac{3}{2}\bar{R},\qquad \bar{c}_p=\bar{c}_v+\bar{R}=\tfrac{5}{2}\bar{R}.\n
Aqui:
  • \,\bar{c}_v é a capacidade molar a volume constante.
  • Usamos \bar{R}=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
Logo substituímos \bar{c}_p=\tfrac{5}{2}\bar{R} na fórmula.

Passo 5

Aplicando a fórmula com os dados do enunciado.
Substituindo em
\n\Delta \bar{s}=\bar{c}_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)-\bar{R}\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right)\n
com \bar{c}_p=\tfrac{5}{2}\bar{R}, \,T_1=300\\ \mathrm{K}, \,T_2=1000\\ \mathrm{K}, \,p_1=1\\ \mathrm{bar}, \,p_2=2\\ \mathrm{bar}, obtemos:
\n\Delta \bar{s}=\bar{R}\left(\tfrac{5}{2}\ln\!\left(\frac{1000}{300}\right)-\ln\!\left(\frac{2}{1}\right)\right).\n
Agora calculemos os logaritmos naturais:
  • \displaystyle \ln\!\left(\frac{1000}{300}\right)=\ln\!\left(\frac{10}{3}\right)\approx 1{,}2039728.\n- \displaystyle \ln\!\left(\frac{2}{1}\right)=\ln 2\approx 0{,}6931472.\n
    Multiplicando:
\n\tfrac{5}{2}\ln\!\left(\frac{10}{3}\right)=2{,}5\times 1{,}2039728\approx 3{,}0099320.\n
Subtraindo o termo da pressão:
\n2{,}5\ln\!\left(\tfrac{10}{3}\right)-\ln 2\approx 3{,}0099320-0{,}6931472\approx 2{,}3167848.\n

Passo 6

Multiplicando pelo valor de \bar{R} para obter o valor numérico final.
Usando \bar{R}=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}:\n \n\Delta \bar{s} \approx 8{,}314\times 2{,}3167848 \approx 19{,}2628\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.\n
Arredondando para dois decimais úteis (considerando as incertezas típicas dos dados):
\n\Delta \bar{s}\approx 19{,}26\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.\n
Interpretação rápida: o valor é positivo, ou seja, a entropia molar aumentou — o aquecimento (que aumenta entropia) foi dominante sobre o aumento de pressão (que tende a reduzir entropia).

Resposta

19{,}26 \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}

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