Calcule a variação de entropia para 2,0 mols de um gás ideal ( \overline{\mathrm{C}}_{\mathrm{V}}=2,5 \mathrm{R} ) nas seguintes transformações: \left(0^{\circ} \mathrm{C}, 10 \mathrm{~L}\right) \rightarrow\left(100^{\circ} \mathrm{C}, 20 \mathrm{~L}\right).
Passo 1
O enunciado pede a variação de entropia para 2{,}0 mols de um gás ideal, passando do estado (0^\circ\mathrm{C},\,10\\ \mathrm{L}) para o estado (100^\circ\mathrm{C},\,20\\ \mathrm{L}). Dados fornecidos:
n=2{,}0\\ \mathrm{mol}.
\overline{C}_V = 2{,}5\,R (capacidade molar a volume constante).
Estado inicial: T_1=0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K}, V_1=10\\ \mathrm{L}.
Estado final: T_2=100^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K}, V_2=20\\ \mathrm{L}.
O que se pede:
Calcular \Delta S, a variação de entropia do gás ao passar do estado 1 para o estado 2.
Passo 2
Vamos escrever a expressão geral que usaremos (a dedução virá no próximo passo). Para um gás ideal a variação de entropia entre dois estados quaisquer pode ser escrita como a integral de dS=\dfrac{\delta Q_{\rm rev}}{T}. Integrando para um gás ideal obtém-se a fórmula:
\Delta S = n\,\overline{C}_V\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + nR\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
Aqui cada símbolo significa:
\Delta S: variação de entropia total (unidade: \mathrm{J\,K^{-1}}).
n: número de mols do gás.
\overline{C}_V: capacidade calorífica molar a volume constante (unidade: \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}).
R: constante dos gases ideais (R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}).
T_1,T_2: temperaturas absoluta inicial e final (em \mathrm{K}).
V_1,V_2: volumes inicial e final (qualquer unidade desde que a razão V_2/V_1 seja feita com a mesma unidade).
Passo 3
Pequena aula/dedução da fórmula usada (passo-a-passo didático):
Definição termodinâmica: para uma transformação reversível \delta S=\dfrac{\delta Q_{\rm rev}}{T}.
Primeira lei para processo infinitesimal: \delta Q_{\rm rev}=dU + \delta W. Para um gás ideal dU = n\overline{C}_V dT e o trabalho reversível é \delta W = p\,dV.
Usando a equação de estado pV=nRT temos p=\dfrac{nRT}{V}. Substituindo em \delta W dá \delta W = \dfrac{nRT}{V}dV.