Calcule a variação de entropia para 2,0 mols de um gás ideal ( \overline{\mathrm{C}}_{\mathrm{V}}=2,5 \mathrm{R} ) nas seguintes transformações:
\left(0^{\circ} \mathrm{C}, 10 \mathrm{~L}\right) \rightarrow\left(100^{\circ} \mathrm{C}, 20 \mathrm{~L}\right).

Passo 1

O enunciado pede a variação de entropia para 2{,}0 mols de um gás ideal, passando do estado (0^\circ\mathrm{C},\,10\\ \mathrm{L}) para o estado (100^\circ\mathrm{C},\,20\\ \mathrm{L}). Dados fornecidos:
  • n=2{,}0\\ \mathrm{mol}.
  • \overline{C}_V = 2{,}5\,R (capacidade molar a volume constante).
  • Estado inicial: T_1=0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K}, V_1=10\\ \mathrm{L}.
  • Estado final: T_2=100^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K}, V_2=20\\ \mathrm{L}.
O que se pede:
  • Calcular \Delta S, a variação de entropia do gás ao passar do estado 1 para o estado 2.

Passo 2

Vamos escrever a expressão geral que usaremos (a dedução virá no próximo passo). Para um gás ideal a variação de entropia entre dois estados quaisquer pode ser escrita como a integral de dS=\dfrac{\delta Q_{\rm rev}}{T}. Integrando para um gás ideal obtém-se a fórmula:
\Delta S = n\,\overline{C}_V\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + nR\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
Aqui cada símbolo significa:
  • \Delta S: variação de entropia total (unidade: \mathrm{J\,K^{-1}}).
  • n: número de mols do gás.
  • \overline{C}_V: capacidade calorífica molar a volume constante (unidade: \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}).
  • R: constante dos gases ideais ( R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}).
  • T_1,T_2: temperaturas absoluta inicial e final (em \mathrm{K}).
  • V_1,V_2: volumes inicial e final (qualquer unidade desde que a razão V_2/V_1 seja feita com a mesma unidade).

Passo 3

Pequena aula/dedução da fórmula usada (passo-a-passo didático):
  1. Definição termodinâmica: para uma transformação reversível \delta S=\dfrac{\delta Q_{\rm rev}}{T}.
  2. Primeira lei para processo infinitesimal: \delta Q_{\rm rev}=dU + \delta W. Para um gás ideal dU = n\overline{C}_V dT e o trabalho reversível é \delta W = p\,dV.
  3. Usando a equação de estado pV=nRT temos p=\dfrac{nRT}{V}. Substituindo em \delta W \delta W = \dfrac{nRT}{V}dV.
  4. Assim
\delta Q_{\rm rev}=n\overline{C}_V dT + \frac{nRT}{V}dV.
  1. Dividindo por T e integrando entre os estados 1 e 2:
\Delta S=\int_{1}^{2}\frac{\delta Q_{\rm rev}}{T} = n\overline{C}_V\int_{T_1}^{T_2}\frac{dT}{T} + nR\int_{V_1}^{V_2}\frac{dV}{V}.
  1. As integrais dão logaritmos naturais, resultando na fórmula do Passo 2:
\Delta S = n\,\overline{C}_V\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + nR\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).

Passo 4

Aplicar a fórmula ao caso numérico. Primeiro calcular alguns termos auxiliares:
  • Como \overline{C}_V=2{,}5\,R, temos n\overline{C}_V = n\cdot 2{,}5R = 2{,}0\cdot 2{,}5\,R = 5\,R.
  • A razão de volumes é \dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{20\\ \mathrm{L}}{10\\ \mathrm{L}}=2.
  • A razão de temperaturas é \dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{373{,}15}{273{,}15}. Vamos calcular os logaritmos naturais:
Calcular \ln\!\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right):
\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=\ln\!\left(\frac{373{,}15}{273{,}15}\right)=\ln(1{,}3663\ldots)\approx 0{,}3115.
Calcular \ln\!\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)=\ln(2)\approx 0{,}693147.
Agora montar \Delta S:
\Delta S = n\overline{C}_V\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + nR\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
Substituindo n\overline{C}_V=5R e nR=2R:
\Delta S = R\Big(5\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + 2\ln 2\Big).

Passo 5

Fazer as contas numéricas finais usando R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}:
Primeiro o fator entre parênteses:
5\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + 2\ln 2 = 5(0{,}3115) + 2(0{,}693147)
= 1{,}5575 + 1{,}386294 = 2{,}9438\\ (\text{aprox.}).
Multiplicando por R:
\Delta S \approx 8{,}314\cdot 2{,}9438 \approx 24{,}5\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
(Arredondei para três algarismos significativos compatíveis com os dados fornecidos.)

Resposta

24{,}5\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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