Calcule a variação de entropia para 2,0 mols de um gás ideal ( \overline{\mathrm{C}}_{\mathrm{V}}=2,5 \mathrm{R} ) nas seguintes transformações:
( 27^{\circ} \mathrm{C}, 1atm) \rightarrow\left(127^{\circ} \mathrm{C}\right., 2atm);

Passo 1

O enunciado pede a variação de entropia para 2{,}0 mols de um gás ideal com capacidade calorífica molar a volume constante \overline{C}_V = 2{,}5\,R, quando o gás vai do estado (27^\circ\mathrm{C},\,1\\ \mathrm{atm}) para (127^\circ\mathrm{C},\,2\\ \mathrm{atm}).
Dados fornecidos:
  • n = 2{,}0\\ \mathrm{mol}.
  • \overline{C}_V = 2{,}5\,R (capacidade molar a volume constante).
  • Estado inicial: T_1 = 27^\circ\mathrm{C}, P_1 = 1\\ \mathrm{atm}.
  • Estado final: T_2 = 127^\circ\mathrm{C}, P_2 = 2\\ \mathrm{atm}.
O que se pede:
  • Calcular \Delta S, a variação de entropia do gás entre os estados indicados.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicado devagarinho):
Para um gás ideal mono ou poliatômico em processo entre dois estados quaisquer, a variação de entropia pode ser escrita em termos de temperatura e volume como
\Delta S = n\overline{C}_V\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + nR\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
O que cada símbolo significa:
  • \Delta S é a variação de entropia (unidade usual: \mathrm{J/K}).
  • n é o número de mols.
  • \overline{C}_V é a capacidade calorífica molar a volume constante (em \mathrm{J/(mol\cdot K)}).
  • R é a constante universal dos gases, R = 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • T_1,T_2 são as temperaturas inicial e final em kelvin.
  • V_1,V_2 são os volumes inicial e final.
Como não foram dados os volumes, usamos a equação de estado dos gases ideais PV=nRT. Assim
\frac{V_2}{V_1}=\frac{(nRT_2/P_2)}{(nRT_1/P_1)}=\frac{T_2}{T_1}\cdot\frac{P_1}{P_2}.
Substituindo isso em \Delta S obtemos uma fórmula que usa só T e P. Fazendo a substituição e simplificando:
\Delta S = n\overline{C}_V\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + nR\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\cdot\frac{P_1}{P_2}\right).
Separando os logaritmos:
\Delta S = n\big(\overline{C}_V + R\big)\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + nR\ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right).
Reconhecendo \overline{C}_P = \overline{C}_V + R (capacidade molar a pressão constante), uma forma conveniente é
\Delta S = n\overline{C}_P\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + nR\ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right).
Essa fórmula é muito prática quando se conhece \overline{C}_V e as pressões.

Passo 3

Converter temperaturas para kelvin e identificar razões:
T_1 = 27^\circ\mathrm{C} = 27 + 273 = 300\\ \mathrm{K}, \qquad T_2 = 127^\circ\mathrm{C} = 127 + 273 = 400\\ \mathrm{K}.
Pressões (as razões de pressão são adimensionais, então unidade não importa desde que seja a mesma):
P_1 = 1\\ \mathrm{atm},\qquad P_2 = 2\\ \mathrm{atm}.
Calcular os logaritmos necessários:
\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=\ln\!\left(\frac{400}{300}\right)=\ln\!\left(\frac{4}{3}\right)\approx 0{,}287682072,
\ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right)=\ln\!\left(\frac{1}{2}\right)=\ln(0{,}5)\approx -0{,}693147180.

Passo 4

Calcular \overline{C}_P e usar a fórmula final.
Dado \overline{C}_V = 2{,}5\,R, temos
\overline{C}_P = \overline{C}_V + R = (2{,}5 + 1)\,R = 3{,}5\,R.
Agora usamos
\Delta S = n\overline{C}_P\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + nR\ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right).
Substituindo \overline{C}_P=3{,}5\,R:
\Delta S = nR\Big[3{,}5\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + \ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right)\Big].
Agora os números: n=2{,}0, R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Calcule o parêntese:
3{,}5\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + \ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right) =3{,}5\times 0{,}287682072 + (-0{,}693147180) \approx 1{,}006887252 - 0{,}693147180 = 0{,}313740072.
Agora nR = 2{,}0\times 8{,}314 = 16{,}628\\ \mathrm{J/K}.
Multiplicando:
\Delta S \approx 16{,}628\times 0{,}313740072 \approx 5{,}22\\ \mathrm{J/K}.

Passo 5

Interpretação curta e ânimo: o resultado é \Delta S \approx 5{,}22\\ \mathrm{J/K}, ou seja, a entropia do gás aumentou um pouco. Faz sentido fisicamente: a temperatura aumentou bastante (aumenta entropia) enquanto a pressão também dobrou (o que tende a diminuir entropia), e o efeito líquido aqui é um pequeno aumento positivo. Você mandou bem pedindo passo a passo — essa é a forma que cai na prova.

Resposta

\Delta S \approx 5{,}22\\ \mathrm{J/K}

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