Calcule a variação de entropia para 2,0 mols de um gás ideal ( \overline{\mathrm{C}}_{\mathrm{V}}=2,5 \mathrm{R} ) nas seguintes transformações:
( 27^{\circ} \mathrm{C}, 1atm) \rightarrow\left(127^{\circ} \mathrm{C}\right., 2atm);
Passo 1
O enunciado pede a variação de entropia para 2{,}0 mols de um gás ideal com capacidade calorífica molar a volume constante \overline{C}_V = 2{,}5\,R, quando o gás vai do estado (27^\circ\mathrm{C},\,1\\ \mathrm{atm}) para (127^\circ\mathrm{C},\,2\\ \mathrm{atm}).
Dados fornecidos:
n = 2{,}0\\ \mathrm{mol}.
\overline{C}_V = 2{,}5\,R (capacidade molar a volume constante).
Estado inicial: T_1 = 27^\circ\mathrm{C}, P_1 = 1\\ \mathrm{atm}.
Estado final: T_2 = 127^\circ\mathrm{C}, P_2 = 2\\ \mathrm{atm}.
O que se pede:
Calcular \Delta S, a variação de entropia do gás entre os estados indicados.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicado devagarinho):
Para um gás ideal mono ou poliatômico em processo entre dois estados quaisquer, a variação de entropia pode ser escrita em termos de temperatura e volume como
\Delta S = n\overline{C}_V\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + nR\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
O que cada símbolo significa:
\Delta S é a variação de entropia (unidade usual: \mathrm{J/K}).
n é o número de mols.
\overline{C}_V é a capacidade calorífica molar a volume constante (em \mathrm{J/(mol\cdot K)}).
R é a constante universal dos gases, R = 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
T_1,T_2 são as temperaturas inicial e final em kelvin.
V_1,V_2 são os volumes inicial e final.
Como não foram dados os volumes, usamos a equação de estado dos gases ideais PV=nRT. Assim
Agora nR = 2{,}0\times 8{,}314 = 16{,}628\\ \mathrm{J/K}.
Multiplicando:
\Delta S \approx 16{,}628\times 0{,}313740072 \approx 5{,}22\\ \mathrm{J/K}.
Passo 5
Interpretação curta e ânimo: o resultado é \Delta S \approx 5{,}22\\ \mathrm{J/K}, ou seja, a entropia do gás aumentou um pouco. Faz sentido fisicamente: a temperatura aumentou bastante (aumenta entropia) enquanto a pressão também dobrou (o que tende a diminuir entropia), e o efeito líquido aqui é um pequeno aumento positivo. Você mandou bem pedindo passo a passo — essa é a forma que cai na prova.