Calcule a variação do potencial químico de \mathbf{1 , 0 ~ m o l} de benzeno líquido quando a pressão aumenta de \mathbf{1 0 0 ~ k P a}(\mathbf{P}) para \mathbf{3 0 0 ~ k P a}(\mathbf{P}) a temperatura constante. (Considere volume molar \mathrm{Vm}=89 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{mol}=89 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{mol}.)

Passo 1

O enunciado pede a variação do potencial químico quando a pressão aumenta, à temperatura constante, para 1{,}0 mol de benzeno líquido. Informações dadas:
  • Pressão inicial: P_1 = 100\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressão final: P_2 = 300\\ \mathrm{kPa}.
  • Volume molar: V_m = 89\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol} = 89\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}.
    A pergunta é: calcular \Delta\mu correspondente a esse aumento de pressão.

Passo 2

Fórmula fundamental a usar (explicação didática): para uma substância pura o potencial químico molar \mu é igual à energia de Gibbs molar g. A variação diferencial de g é dada por
\mathrm{d}g = -s\,\mathrm{d}T + v\,\mathrm{d}P,
onde s é a entropia molar e v é o volume molar. Aqui a temperatura é constante, logo \mathrm{d}T=0 e ficamos com
\mathrm{d}\mu = \mathrm{d}g = v\,\mathrm{d}P.
Na notação do enunciado v é V_m. Ou seja, a relação que vamos usar é
\mathrm{d}\mu = V_m\,\mathrm{d}P.
Explicando as variáveis: \mu é o potencial químico por mol, V_m é o volume por mol (m³/mol) e P é a pressão (Pa).

Passo 3

Integramos essa relação entre P_1 e P_2. Se o líquido for pouco compressível (aproximação válida para líquidos), V_m pode ser tratado como constante no intervalo de pressão dado. Assim:
\Delta\mu=\int_{P_1}^{P_2}V_m\,\mathrm{d}P = V_m\,(P_2-P_1).
Agora converte-se as unidades para SI:
P_1 = 100\\ \mathrm{kPa} = 100\times10^{3}\\ \mathrm{Pa} = 1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},
P_2 = 300\\ \mathrm{kPa} = 3{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},
\Delta P = P_2-P_1 = 2{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},
V_m = 89\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}.

Passo 4

Calculemos numericamente:
\Delta\mu = V_m\,\Delta P = \left(89\times10^{-6}\right)\left(2{,}0\times10^{5}\right)\\ \mathrm{J/mol}.
Fazendo as potências de dez e a multiplicação:
\Delta\mu = (89\cdot2{,}0)\times10^{-6+5}\\ \mathrm{J/mol} = 178\times10^{-1}\\ \mathrm{J/mol} = 17{,}8\\ \mathrm{J/mol}.

Passo 5

Interpretação: o sinal positivo indica que o potencial químico aumenta quando a pressão aumenta (isso é esperado para um líquido). Para 1{,}0 mol, a variação do potencial químico molar é \Delta\mu=17{,}8\\ \mathrm{J/mol}. (Se houvesse n mols, a variação total de energia livre seria n\,\Delta\mu; aqui n=1{,}0 então o valor numérico é o mesmo.)

Resposta

\Delta\mu = 17{,}8\\ \mathrm{J/mol}

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