Um vetor \vec{A} tem módulo 5 , e forma um ângulo de 60^{\circ} com \vec{B}, cujo módulo é 3 . Calcule \vec{A} \cdot \vec{B}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • O módulo de \vec{A} é |\vec{A}|=5.
  • O módulo de \vec{B} é |\vec{B}|=3.
  • O ângulo entre \vec{A} e \vec{B} é \theta=60^\circ.
O que se pede: calcular o produto escalar \vec{A}\cdot\vec{B}.

Passo 2

Lembrete da definição prática do produto escalar (essa é a fórmula que normalmente se usa em prova):
\vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}|\,|\vec{B}|\,\cos\theta.
Explicando cada termo:
  • \vec{A}\cdot\vec{B} é um número real (escalar) — o produto escalar entre os vetores.
  • |\vec{A}| e |\vec{B}| são os comprimentos (módulos) dos vetores \vec{A} e \vec{B}.
  • \theta é o ângulo menor entre os vetores.
    Essa fórmula vem da ideia geométrica de projetar um vetor no outro: o produto escalar é o módulo de um vetor vezes a componente do outro na direção desse primeiro vetor.

Passo 3

Calcular \cos\theta para \theta=60^\circ. Conhecimento básico de trigonometria:
\cos 60^\circ=\frac{1}{2}.
(Justificativa rápida: ângulo de 60^\circ pertence ao triângulo equilátero dividido ao meio ou à tabela trigonométrica básica.)

Passo 4

Agora substituímos os valores na fórmula:
\vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}|\,|\vec{B}|\,\cos\theta = 5\cdot 3\cdot \frac{1}{2}.

Passo 5

Fazendo as contas passo a passo:
5\cdot 3 = 15, \qquad 15\cdot \frac{1}{2} = \frac{15}{2}.
O resultado é um número positivo, o que faz sentido porque o ângulo de 60^\circ é agudo e, portanto, a componente de um vetor na direção do outro é positiva. Força na prova: escreva sempre a fórmula, calcule \cos do ângulo e faça a multiplicação.

Resposta

\dfrac{15}{2}=7,5

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