1. Calcule \vec{u}(t) \cdot \vec{v}(t), onde \vec{u}(t)=\operatorname{sen} t \vec{i}+\cos t \vec{j}+t \vec{k} \mathrm{e} \vec{v}(t)=\operatorname{sen} t \vec{i}+\cos t \vec{j}+\vec{k}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto escalar de duas funções vetoriais em \mathbb{R}^3: \vec{u}(t)=\operatorname{sen} t\,\vec{i}+\cos t\,\vec{j}+t\,\vec{k} e \vec{v}(t)=\operatorname{sen} t\,\vec{i}+\cos t\,\vec{j}+\vec{k}.
O conteúdo é produto escalar de vetores, e vamos usar a definição
\vec a\cdot\vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.

Passo 2

Primeiro identifique as componentes de cada vetor: \vec{u}(t) = (u_1,u_2,u_3) com
u_1 = \operatorname{sen} t,\quad u_2 = \cos t,\quad u_3 = t,
e \vec{v}(t) = (v_1,v_2,v_3) com
v_1 = \operatorname{sen} t,\quad v_2 = \cos t,\quad v_3 = 1.

Passo 3

Agora aplique a definição do produto escalar somando os produtos das componentes correspondentes:
\vec{u}(t)\cdot\vec{v}(t) = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 = (\operatorname{sen} t)(\operatorname{sen} t) + (\cos t)(\cos t) + (t)(1).

Passo 4

Simplifique usando a identidade trigonométrica \operatorname{sen}^2 t + \cos^2 t = 1:
\vec{u}(t)\cdot\vec{v}(t) = \operatorname{sen}^2 t + \cos^2 t + t = 1 + t.

Resposta

\vec{u}(t)\cdot\vec{v}(t) = t + 1

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