Calcule cada um dos limites abaixo.
(h) \lim _{x \rightarrow 0} x \cos \left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0}x\cos\Bigl(\tfrac1x\Bigr).
Estamos em limites de função e vamos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto), aproveitando que a função \cos é limitada entre -1 e 1.

Passo 2

Para todo x\neq0 vale
-1 \le \cos\Bigl(\tfrac1x\Bigr) \le 1.
Multiplicando essa desigualdade por x, e lembrando que isso inverte o sentido quando x<0, obtemos de forma unificada
-|x| \;\le\; x\cos\Bigl(\tfrac1x\Bigr)\;\le\;|x|.

Passo 3

Sabemos que
\lim_{x\to0}-|x| = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0}|x| = 0.
Pelo Teorema do Confronto, a função que está “entre” esses dois limites também tende a 0. Logo,
\lim_{x\to0}x\cos\Bigl(\tfrac1x\Bigr)=0.

Resposta

0

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