Em relação a uma base ortonormal, são dados \vec{u}=(2,0,-3) e \vec{v}=(1,1,1). Calcule, em radianos, a medida angular entre \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado pede a medida angular entre os vetores \vec{u}=(2,0,-3) e \vec{v}=(1,1,1), em radianos.
Informações dadas:
  • \vec{u}=(2,0,-3).
  • \vec{v}=(1,1,1).
  • A base é ortonormal (portanto produto escalar e normas são os usuais com soma de componentes).

Passo 2

Definição do produto escalar em uma base ortonormal: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Aplicando a \vec{u} e \vec{v}:
\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot1+0\cdot1+(-3)\cdot1=2+0-3=-1.

Passo 3

Definição da norma (módulo) de um vetor: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3),
\|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
Calculemos \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|:
\|\vec{u}\|=\sqrt{2^2+0^2+(-3)^2}=\sqrt{4+0+9}=\sqrt{13},
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}.

Passo 4

Relação entre produto escalar e ângulo \theta entre vetores: para vetores não nulos,
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} com 0\le\theta\le\pi. Isolando \cos\theta:
\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}.
Substituindo os valores que já calculamos:
\cos\theta=\dfrac{-1}{\sqrt{13}\,\sqrt{3}}=\dfrac{-1}{\sqrt{39}}.
Aproximação numérica: \sqrt{39}\approx6,244998, logo
\cos\theta\approx-0,160127.

Passo 5

Obtenção do ângulo: \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{-1}{\sqrt{39}}\right). Usando a função arco cosseno (tabela ou calculadora) obtemos a aproximação em radianos:
\theta\approx1,7326\\ \text{rad}.
Sanity check rápido: \cos\theta<0 indica \theta>\tfrac{\pi}{2} (aprox. 1,5708) e menor que \pi (aprox. 3,1416), então 1,7326 faz sentido.

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(-\dfrac{1}{\sqrt{39}}\right)\approx1,7326\\ \text{rad}

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