Num dado instante t uma partícula de massa 3,5 k g está na posição \vec{r}=3,0 m \hat{\imath}+4.2 m \hat{\jmath} e velocidade \vec{v}=-5.0 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} \hat{\jmath}. Nesse mesmo instante há uma força \vec{F}=-4,5 N \hat{\imath} sobre ela. Determine
o momento angular da partícula em torno do ponto x=0, y=4.2 m.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações no instante considerado:
\vec{r}=3{,}0\\ \mathrm{m}\,\hat{\imath}+4{,}2\\ \mathrm{m}\,\hat{\jmath}, \qquad \vec{v}=-5{,}0\\ \mathrm{m/s}\,\hat{\jmath}, \qquad m=3{,}5\\ \mathrm{kg},
e menciona também a força \vec{F}=-4{,}5\\ \mathrm{N}\,\hat{\imath} (mas não pede nada sobre ela). A pergunta é: determine o momento angular da partícula em torno do ponto x=0,\;y=4{,}2\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Definição e ideia que vamos usar (sem pular etapas):
O momento angular de uma partícula em relação a um ponto é dado por
\vec{L}=\vec{r}_{\text{rel}}\times\vec{p},
onde:
  • \vec{r}_{\text{rel}} é o vetor que vai do ponto escolhido até a posição da partícula (ou seja, posição relativa);
  • \vec{p}=m\vec{v} é o momento linear (momentum) da partícula;
  • o símbolo \times indica o produto vetorial (cross product). O produto vetorial entre dois vetores resulta num vetor perpendicular ao plano formado por eles e com magnitude igual à área do paralelogramo formado pelos dois vetores (magnitude |\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta, direção dada pela regra da mão direita).
    As unidades de \vec{L} são \mathrm{kg\;m^2/s}.

Passo 3

Calcular o vetor posição relativo ao ponto pedido. O ponto de referência tem coordenadas (0,\;4{,}2\\ \mathrm{m}). Portanto
\vec{r}_{\text{rel}}=\vec{r}-\vec{r}_{\text{ponto}} = \bigl(3{,}0-0\bigr)\,\mathrm{m}\,\hat{\imath} + \bigl(4{,}2-4{,}2\bigr)\,\mathrm{m}\,\hat{\jmath} =3{,}0\\ \mathrm{m}\,\hat{\imath}+0\\ \mathrm{m}\,\hat{\jmath}.

Passo 4

Calcular o momento linear \vec{p}=m\vec{v}. Multiplicando componente a componente:
\vec{p}=3{,}5\\ \mathrm{kg}\times\bigl(-5{,}0\\ \mathrm{m/s}\,\hat{\jmath}\bigr) =-17{,}5\\ \mathrm{kg\,m/s}\,\hat{\jmath}.

Passo 5

Calcular o produto vetorial \vec{L}=\vec{r}_{\text{rel}}\times\vec{p}.
Podemos usar a regra simples: (a\hat{\imath})\times(b\hat{\jmath})=ab\,\hat{k} e lembrar que \hat{\imath}\times\hat{\jmath}=\hat{k}.
Aqui \vec{r}_{\text{rel}}=3{,}0\hat{\imath} e \vec{p}=-17{,}5\hat{\jmath}, então
\vec{L}=3{,}0\\ \hat{\imath}\times\bigl(-17{,}5\\ \hat{\jmath}\bigr) =3{,}0\times(-17{,}5)\,\hat{k} =-52{,}5\\ \hat{k}.
Incluindo as unidades:
\vec{L}=-52{,}5\\ \mathrm{kg\,m^2/s}\,\hat{k}.
Interpretação: o sinal negativo na direção \hat{k} indica que o momento angular aponta para o sentido negativo do eixo z (ou seja, “para dentro” do plano xy se você imaginar o eixo z saindo da página).

Passo 6

Observação final e empurrãozinho de ânimo: a força \vec{F} dada não era necessária para calcular o momento angular neste item — teria sido usada se o enunciado pedisse o torque \vec{\tau}=\vec{r}_{\text{rel}}\times\vec{F}. Você fez certinho ao focar em \vec{r}_{\text{rel}} e em \vec{p}. Tá indo bem — continue praticando esse tipo de cálculo de produto vetorial que aparece muito em provas!

Resposta

-52{,}5\\ \mathrm{kg\,m^2/s}\,\hat{k}

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