Qual a solução particular da equação de um objeto em queda livre, sem resistência do ar, quando o objeto parte do solo com uma velocidade vertical positiva v0 ? Quanto tempo leva para o objeto voltar ao solo?
Esboce o gráfico da trajetória percorrida pelo objeto até atingir o solo.

Passo 1

O problema pede a posição de um objeto que se move sob gravidade constante sem resistência do ar, saindo do solo (posição zero) com velocidade inicial vertical positiva v0. Vamos usar as equações de movimento com aceleração constante.

Passo 2

A aceleração vertical é constante e igual a -g (o sinal negativo indica que a gravidade aponta para baixo). Então temos a EDO y''(t) = -g, com as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=v0.

Passo 3

Integramos primeiro para encontrar a velocidade:
y'(t)=integral y''(t),dt=integral(-g),dt=-g,t+C1

Passo 4

Usamos y'(0)=v0 para achar C1:
y'(0)=-gcdot0+C1=v0implies C1=v0

Passo 5

Então a velocidade é
y'(t)=v0-g,t

Passo 6

Agora integramos de novo para achar a posição:
y(t)=integral y'(t),dt=integral(v0-g,t),dt=v0,t-tfrac12g,t^2+C2

Passo 7

Como y(0)=0, temos
y(0)=0-0+C2=0implies C2=0

Passo 8

Logo a solução particular (posição) é
y(t)=v0,t-tfrac12,g,t^2

Passo 9

Para achar o tempo de retorno T, impomos y(T)=0 (além da solução trivial T=0):
v0T-tfrac12gT^2=0implies Tl(v0-tfrac12gTr)=0implies T=2v0g

Passo 10

O esboço do gráfico de y(t) é uma parábola invertida que parte de (0,0), sobe até o ponto de altura máxima ymax=v0^2/(2g) em t=v0/g, e retorna a zero em t=2v0/g.

Resposta

Solução particular: y(t)=v0,t-tfrac12,g,t^2. Tempo de volta ao solo: T=2v0/g. Gráfico: parábola invertida cruzando y=0 em t=0 e t=2v0/g.

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