Qual a solução particular da equação de um objeto em queda livre, sem resistência do ar, quando o objeto parte do solo com uma velocidade vertical positiva
? Quanto tempo leva para o objeto voltar ao solo?
Esboce o gráfico da trajetória percorrida pelo objeto até atingir o solo.
Esboce o gráfico da trajetória percorrida pelo objeto até atingir o solo.
Passo 1
O problema pede a posição de um objeto que se move sob gravidade constante sem resistência do ar, saindo do solo (posição zero) com velocidade inicial vertical positiva
. Vamos usar as equações de movimento com aceleração constante.
Passo 2
A aceleração vertical é constante e igual a
(o sinal negativo indica que a gravidade aponta para baixo). Então temos a EDO
, com as condições iniciais
e
.
Passo 3
Integramos primeiro para encontrar a velocidade:
Passo 4
Usamos
para achar
:
Passo 5
Então a velocidade é
Passo 6
Agora integramos de novo para achar a posição:
Passo 7
Como
, temos
Passo 8
Logo a solução particular (posição) é
Passo 9
Para achar o tempo de retorno
, impomos
(além da solução trivial
):
Passo 10
O esboço do gráfico de
é uma parábola invertida que parte de
, sobe até o ponto de altura máxima
em
, e retorna a zero em
.
Resposta
Solução particular:
. Tempo de volta ao solo:
. Gráfico: parábola invertida cruzando
em
e
.