Calcule a velocidade das curvas parametrizadas abaixo:
sigma(t)=(e^t cos t, e^t sin t);

Passo 1

Temos a curva parametrizada sigma(t) = (e^tcos t, e^tsin t). O que pedem é a velocidade, isto é, a magnitude do vetor derivada sigma'(t). Para isso, vamos usar regra do produto e depois norma de vetor.

Passo 2

Vamos derivar componente a componente usando regra do produto e cadeia. Para a primeira componente:
ddtl(e^tcos tr) = e^tcos t + e^t(-sin t) = e^t(cos t - sin t)
Para a segunda componente:
ddtl(e^tsin tr) = e^tsin t + e^tcos t = e^t(sin t + cos t)
Logo o vetor velocidade é sigma'(t) = (e^t(cos t - sin t), e^t(sin t + cos t)). Agora calculamos sua norma:
|sigma'(t)| = raizl[e^t(cos t - sin t)r]^2 + l[e^t(sin t + cos t)r]^2

Passo 3

Fatorando e^2t dentro da raiz e usando sin^2 t + cos^2 t = 1, temos:
|sigma'(t)| = e^traiz(cos t - sin t)^2 + (sin t + cos t)^2 = e^traiz2(cos^2 t + sin^2 t) = e^traiz2

Resposta

A velocidade da curva é |sigma'(t)| = e^traiz2.

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