Calcule a velocidade das ondas sonoras no ar em \mathrm{T}=20^{\circ} \mathrm{C} (temperatura ambiente) e encontre o intervalo de comprimentos de onda no ar em que o ouvido humano é sensível (que consegue escutar frequências entre 20 Hz até cerca de 20.000 Hz ). Utilize massa molar do ar \mathrm{M}=28,8 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{mol} \mathrm{e} \gamma=1,40; e \mathrm{R}=8,3145 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} . \mathrm{K}.
(R: 344 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; \lambda_{20}=17,2 \mathrm{~m} ; \lambda_{20000}=1,72 \mathrm{~cm} ).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) calcular a velocidade das ondas sonoras no ar à temperatura ambiente \mathrm{T}=20^\circ\mathrm{C}; (b) achar o intervalo de comprimentos de onda no ar correspondentes às frequências audíveis pelo ouvido humano, isto é de 20\\ \mathrm{Hz} até 20\,000\\ \mathrm{Hz}.
Informações fornecidas (vou escrevê‑las explicitamente em unidades compatíveis):
\gamma = 1,40,\qquad R = 8,3145\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},\qquad T=20^\circ\mathrm{C},
e a massa molar do ar fornecida é \mathrm{M}=28,8\times 10^{?}\\ \mathrm{kg/mol}. Como a massa molar do ar é tipicamente cerca de 28{,}8\\ \mathrm{g/mol}, vou usar a forma correta em SI:
M = 28{,}8\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol} \quad(\text{ou seja }0{,}0288\\ \mathrm{kg/mol}).
As frequências que precisamos usar são f_1=20\\ \mathrm{Hz} e f_2=20\,000\\ \mathrm{Hz}.

Passo 2

Apresento a fórmula que liga velocidade do som em gás ideal com as grandezas dadas. Para um gás ideal, a velocidade de propagação de pequenas perturbações adiabáticas (som) é
v=\sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}.
Explicando cada símbolo:
\gamma é a razão entre capacidades térmicas molares (adimensional),
R é a constante dos gases perfeitos em \mathrm{J/(mol\cdot K)},
T é a temperatura absoluta em Kelvin ( \mathrm{K}),
M é a massa molar do gás em \mathrm{kg/mol}.
A razão dessa fórmula: físicamente o som depende de como a pressão responde a uma compressão rápida (por isso aparece \gamma) e da inércia por unidade de volume (relacionada a M) — aqui contei isso rapidinho para você entender o porquê dos termos.

Passo 3

Converto a temperatura de Celsius para Kelvin. A relação é
T(\mathrm{K}) = T({}^\circ\mathrm{C}) + 273{,}15.
Substituindo 20^\circ\mathrm{C}:
T = 20 + 273{,}15 = 293{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Escrevo os valores numéricos a inserir na fórmula (em unidades SI):
\gamma = 1{,}40,\quad R = 8{,}3145\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},\quad T = 293{,}15\\ \mathrm{K},\quad M = 28{,}8\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}.

Passo 5

Calculo primeiro o produto \gamma R T. Faço em etapas para ficar bem claro:
R T = 8{,}3145 \times 293{,}15.
Calculo aproximado passo a passo:
8{,}3145\times 293{,}15 \approx 2437{,}396\\ (\text{unidade: J/mol}).
Agora multiplico por \gamma:
\gamma R T = 1{,}40 \times 2437{,}396 \approx 3412{,}3544\\ (\text{unidade: J/mol}).

Passo 6

Divido por M e tomo a raiz para obter v. Primeiro a divisão:
\frac{\gamma R T}{M} = \frac{3412{,}3544}{0{,}0288} \approx 118\,484{,}528\\ (\text{unidade: }\mathrm{m^2/s^2}).
Agora a raiz quadrada:
v = \sqrt{118\,484{,}528}\\ \mathrm{m/s} \approx 344{,}2\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando para três algarismos significativos obtemos v\approx 344\\ \mathrm{m/s}, que bate com o valor esperado do enunciado.

Passo 7

Agora calculo os comprimentos de onda usando a relação geral entre velocidade, frequência e comprimento de onda:
\lambda = \frac{v}{f},
onde \lambda é o comprimento de onda (em \mathrm{m}), v é a velocidade (em \mathrm{m/s}) e f é a frequência (em \mathrm{Hz}). Vou usar v=344{,}216\\ \mathrm{m/s} (valor mais preciso obtido antes) para os cálculos.

Passo 8

Comprimento de onda para f_1=20\\ \mathrm{Hz}:
\lambda_{20} = \frac{v}{20} = \frac{344{,}216}{20} \approx 17{,}2108\\ \mathrm{m}.
Arredondando: \lambda_{20}\approx 17{,}2\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Comprimento de onda para f_2=20\,000\\ \mathrm{Hz}:
\lambda_{20000} = \frac{v}{20\,000} = \frac{344{,}216}{20\,000} \approx 0{,}0172108\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros:
0{,}0172108\\ \mathrm{m} = 1{,}72108\\ \mathrm{cm},
arredondando: \lambda_{20000}\approx 1{,}72\\ \mathrm{cm}.

Resposta

v \approx 344\\ \mathrm{m/s}
\lambda_{20} \approx 17{,}2\\ \mathrm{m}
\lambda_{20000} \approx 1{,}72\\ \mathrm{cm}

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