Calcule a velocidade das ondas sonoras no ar em
(temperatura ambiente) e encontre o intervalo de comprimentos de onda no ar em que o ouvido humano é sensível (que consegue escutar frequências entre 20 Hz até cerca de 20.000 Hz ). Utilize massa molar do ar
; e
.
(R:
).
(R:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) calcular a velocidade das ondas sonoras no ar à temperatura ambiente
; (b) achar o intervalo de comprimentos de onda no ar correspondentes às frequências audíveis pelo ouvido humano, isto é de
até
.
Informações fornecidas (vou escrevê‑las explicitamente em unidades compatíveis):
Informações fornecidas (vou escrevê‑las explicitamente em unidades compatíveis):
e a massa molar do ar fornecida é
. Como a massa molar do ar é tipicamente cerca de
, vou usar a forma correta em SI:
As frequências que precisamos usar são
e
.
Passo 2
Apresento a fórmula que liga velocidade do som em gás ideal com as grandezas dadas. Para um gás ideal, a velocidade de propagação de pequenas perturbações adiabáticas (som) é
Explicando cada símbolo:
é a razão entre capacidades térmicas molares (adimensional),
é a constante dos gases perfeitos em
,
é a temperatura absoluta em Kelvin (
),
é a massa molar do gás em
.
A razão dessa fórmula: físicamente o som depende de como a pressão responde a uma compressão rápida (por isso aparece ) e da inércia por unidade de volume (relacionada a
) — aqui contei isso rapidinho para você entender o porquê dos termos.
A razão dessa fórmula: físicamente o som depende de como a pressão responde a uma compressão rápida (por isso aparece
Passo 3
Converto a temperatura de Celsius para Kelvin. A relação é
Substituindo
:
Passo 4
Escrevo os valores numéricos a inserir na fórmula (em unidades SI):
Passo 5
Calculo primeiro o produto
. Faço em etapas para ficar bem claro:
Calculo aproximado passo a passo:
Agora multiplico por
:
Passo 6
Divido por
e tomo a raiz para obter
. Primeiro a divisão:
Agora a raiz quadrada:
Arredondando para três algarismos significativos obtemos
, que bate com o valor esperado do enunciado.
Passo 7
Agora calculo os comprimentos de onda usando a relação geral entre velocidade, frequência e comprimento de onda:
onde
é o comprimento de onda (em
),
é a velocidade (em
) e
é a frequência (em
). Vou usar
(valor mais preciso obtido antes) para os cálculos.
Passo 8
Comprimento de onda para
:
Arredondando:
.
Passo 9
Comprimento de onda para
:
Convertendo para centímetros:
arredondando:
.