Em uma onda sonora senoidal a variação máxima da pressão possui valor de 3,0 \times 10^{-2} \mathrm{~Pa}.
(a) Calcule o deslocamento máximo S_{\max } correspondente em uma frequência de 20 Hz .
(b) Determine a intensidade da onda sonora.
Use velocidade do som V = 344 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e B = 1,42 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} (módulo de compressibilidade).
(R: (a) 0,58 \mu \mathrm{~m}; (b) 1,09 \times 10^{-6} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2};

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) Calcular o deslocamento máximo \,S_{\max}\, associado a uma onda sonora senoidal, sabendo que a variação máxima da pressão vale \,\Delta P_{\max}=3,0\times10^{-2}\,\mathrm{Pa}\, e a frequência é \,f=20\,\mathrm{Hz}\,.
(b) Determinar a intensidade média da onda sonora I.
Informações fornecidas no enunciado (vou listá‑las para não perder nada):
\Delta P_{\max}=3,0\times10^{-2}\,\mathrm{Pa},
f=20\,\mathrm{Hz},
v=344\,\mathrm{m/s},
B=1,42\times10^{5}\,\mathrm{Pa}.

Passo 2

Relação entre pressão e deslocamento para uma onda longitudinal senoidal (aulas rápidas de física):
  • A compressão local numa onda longitudinal é dada pela derivada espacial do deslocamento \xi(x,t). O módulo de compressibilidade (ou módulo de volume) B relaciona a variação de pressão com a variação relativa de volume, e para uma onda unidimensional linearizada temos a relação de amplitude
\Delta P_{\max}=B\,k\,S_{\max},
onde:
  • \Delta P_{\max} é a amplitude da variação de pressão (dada),
  • B é o módulo de compressibilidade (dado),
  • k é o número de onda,
  • S_{\max} é a amplitude do deslocamento (o que queremos).
Explicando k: o número de onda é
k=\frac{2\pi}{\lambda},
e a relação entre velocidade de fase (velocidade do som) \,v\,, frequência \,f\, e comprimento de onda \lambda é
\lambda=\frac{v}{f}.
Logo
k=\frac{2\pi f}{v}.
Isolando S_{\max} a partir de \Delta P_{\max}=B k S_{\max} obtemos a fórmula prática que vamos usar:
S_{\max}=\frac{\Delta P_{\max}}{B k}=\frac{\Delta P_{\max}}{B}\cdot\frac{1}{k}=\frac{\Delta P_{\max}}{B}\cdot\frac{v}{2\pi f}.

Passo 3

Aplicando os valores numéricos para calcular \,S_{\max}\,.
Primeiro calculo a constante \,2\pi f:
2\pi f = 2\pi\cdot 20 \approx 125,664\;.
Agora uso a fórmula
S_{\max}=\frac{\Delta P_{\max}\,v}{B\,(2\pi f)}.
Substituindo os valores (todos em notação TeX):
S_{\max}=\frac{(3,0\times10^{-2})\cdot 344}{(1,42\times10^{5})\cdot 125,664}.
Faço a conta em partes:
\text{numerador}=(3,0\times10^{-2})\cdot 344 = 0,03\cdot344 = 10,32.
\text{denominador}=(1,42\times10^{5})\cdot 125,664 \approx 1,78442554\times10^{7}.
Portanto
S_{\max}\approx\frac{10,32}{1,78442554\times10^{7}} \approx 5,784\times10^{-7}\,\mathrm{m}.
Convertendo para micrômetros ( 1\,\mu\mathrm{m}=10^{-6}\,\mathrm{m}):
S_{\max}\approx 0,5784\,\mu\mathrm{m}\approx 0,58\,\mu\mathrm{m}.

Passo 4

Agora a intensidade média da onda sonora. Fórmula útil e intuitiva:
  • Para uma onda progressiva plana senoidal, a intensidade média (potência por unidade de área) é
I=\frac{1}{2}\,p_{\max}\,u_{\max},
onde u_{\max} é a amplitude da velocidade de partícula. Para ondas sonoras planares existe a relação
p_{\max}=\rho\,v\,u_{\max},
logo isolando u_{\max} e substituindo em I obtemos
I=\frac{1}{2}\frac{p_{\max}^{2}}{\rho\,v}.
Mas nós não temos \rho (densidade) diretamente. Podemos usar a relação entre B, \rho e v:
v^{2}=\frac{B}{\rho}\quad\Rightarrow\quad \rho=\frac{B}{v^{2}}.
Substituindo \rho em I:
I=\frac{1}{2}\frac{p_{\max}^{2}}{(B/v^{2})\,v}=\frac{1}{2}\frac{p_{\max}^{2}\,v^{2}}{B\,v}=\frac{v\,p_{\max}^{2}}{2B}.
Portanto usaremos a fórmula prática
I=\frac{v\,\Delta P_{\max}^{2}}{2B}.

Passo 5

Calculando numericamente a intensidade I.
Primeiro o quadrado da amplitude de pressão:
\Delta P_{\max}^{2}=(3,0\times10^{-2})^{2}=9,0\times10^{-4}\,\mathrm{Pa}^{2}.
Agora aplico
I=\frac{v\,\Delta P_{\max}^{2}}{2B}=\frac{344\cdot 9,0\times10^{-4}}{2\cdot 1,42\times10^{5}}.
Calculo o numerador:
344\cdot 9,0\times10^{-4}=0,3096.
Calculo o denominador:
2\cdot 1,42\times10^{5}=2,84\times10^{5}.
Dividindo:
I=\frac{0,3096}{2,84\times10^{5}}\approx 1,09014\times10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
Arredondando convenientemente:
I\approx 1,09\times10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.

Resposta

(a) 0,58\,\mu\mathrm{m}
(b) 1,09\times10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}

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