Um sonar é um equipamento que produz ondas sonoras para detectar objetos submersos. O equipamento mede o intervalo de tempo que a onda sonora refletida (eco) pelo objeto leva para retornar ao detector. As ondas sonoras eficientes para esta detecção possuem frequência igual a 262 Hz . Considerando o módulo de compressibilidade igual a \mathrm{B}=2,18 \times 10^{9} \mathrm{~Pa}; a densidade da água 1,0 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}; determine:
(a) o comprimento de onda \lambda das ondas sonoras na água;
(b) Qual a velocidade das ondas sonoras na água?
(R: (a) 5,63 \mathrm{~m}; (b) 1476 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e dá alguns dados. Vou listar tudo claramente para não nos perdermos.
  • Perguntas:
    1. Determinar o comprimento de onda \lambda das ondas sonoras na água.
    2. Determinar a velocidade v das ondas sonoras na água.
  • Dados fornecidos pelo enunciado:
    • frequência das ondas sonoras: \;f = 262\;\mathrm{Hz}.
    • módulo de compressibilidade (módulo volumétrico) da água: \;B = 2{,}18\times 10^{9}\;\mathrm{Pa}.
    • densidade da água: \;\rho = 1{,}0\times 10^{3}\;\mathrm{kg/m^{3}}.
Não vou resolver nada ainda, apenas organizei o que é pedido e o que foi dado.

Passo 2

Entender as fórmulas que vamos usar — uma mini-aula prática e direta, sem enrolação.
  • Relação entre velocidade, comprimento de onda e frequência: toda onda harmônica satisfaz
v = \lambda \, f,
onde:
  • \;v é a velocidade da onda (em \mathrm{m/s}),
  • \;\lambda é o comprimento de onda (em \mathrm{m}),
  • \;f é a frequência (em \mathrm{Hz}).
Essa fórmula diz basicamente que em cada segundo a crista da onda percorre v metros; como em cada período T=1/f surge uma crista, o espaço entre cristas é \lambda = v/f.
  • Relação entre módulo de compressibilidade B, massa específica \rho e velocidade do som em um fluido:
B = \rho \, v^{2}.
Essa é uma relação física para ondas de compressão em meios fluidos: quanto maior o módulo de compressibilidade (meio “mais rígido” a variações de volume), maior a velocidade; quanto maior a densidade, menor a velocidade. Isolando v temos
v = \sqrt{\dfrac{B}{\rho}}.
Agora que sabemos quais fórmulas usar, vamos aplicá-las passo a passo.

Passo 3

Calcular a velocidade v usando v = \sqrt{B/\rho}.
Primeiro substituímos os valores numéricos. Lembre que \;B = 2{,}18\times 10^{9}\;\mathrm{Pa} e \;\rho = 1{,}0\times 10^{3}\;\mathrm{kg/m^{3}}. Então
\frac{B}{\rho} = \frac{2{,}18\times 10^{9}}{1{,}0\times 10^{3}}.
Fazendo a divisão de potências de 10:
\frac{2{,}18\times 10^{9}}{1{,}0\times 10^{3}} = 2{,}18\times 10^{6}.
Agora tomamos a raiz quadrada:
v = \sqrt{2{,}18\times 10^{6}}.
Uma forma prática de calcular é separar a parte decimal da potência de 10:
\sqrt{2{,}18\times 10^{6}} = \sqrt{2{,}18}\;\times\; \sqrt{10^{6}} = \sqrt{2{,}18}\;\times\;10^{3}.
Aproximando a raiz de 2{,}18: \sqrt{2{,}18}\approx 1{,}476 (pode-se obter isso por uma calculadora simples ou por aproximação). Logo
v \approx 1{,}476 \times 10^{3}\;\mathrm{m/s} = 1476\;\mathrm{m/s}.
Portanto a velocidade das ondas sonoras na água, com os dados dados, é \;v \approx 1476\;\mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular o comprimento de onda \lambda usando \lambda = v/f.
Já temos v \approx 1476\;\mathrm{m/s} (do passo anterior) e f = 262\;\mathrm{Hz}. Então
\lambda = \frac{v}{f} = \frac{1476}{262}\;\mathrm{m}.
Fazendo a divisão:
\frac{1476}{262} = \frac{738}{131}\approx 5{,}63359\ldots
Arredondando com bom critério para duas casas decimais (como no gabarito dado):
\lambda \approx 5{,}63\;\mathrm{m}.
Interpretando rapidamente: essa é a distância entre cristas da onda sonora na água para a frequência dada — relativamente grande porque a velocidade do som na água é alta e a frequência é moderada.

Passo 5

Resumo dos resultados com breves comentários de verificação.
  • Verificação dimensional rápida:
    • Em v = \sqrt{B/\rho}, B tem unidade \mathrm{Pa} = \mathrm{N/m^{2}} = \mathrm{kg/(m\,s^{2})} e \rho tem \mathrm{kg/m^{3}}. Dividindo, \mathrm{(kg/(m\,s^{2}))/(kg/m^{3}})=\mathrm{m^{2}/s^{2}}. A raiz dá \mathrm{m/s}, consistente.
    • Em \lambda = v/f, \mathrm{m/s} dividido por \mathrm{1/s} \mathrm{m}, consistente.
  • Os valores finais batem com o gabarito informado:
    • velocidade \;1476\;\mathrm{m/s},
    • comprimento de onda \;5{,}63\;\mathrm{m}.
Força aí — você já tem as fórmulas essenciais para qualquer exercício parecido: v=\sqrt{B/\rho} para fluidos e v=\lambda f para relacionar comprimento de onda e frequência. Se quiser, eu faço mais um exemplo rapidinho com outros números para treinar.

Resposta

\lambda = 5{,}63\;\mathrm{m}
v = 1476\;\mathrm{m/s}

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