Encontre vetores ortogonais A, B, C pelo processo de Gram-Schmidt a partir de
a=[l 1 1 2 ] e b=[c 1 -1 0 ] e c=[l 1 0 4 ]

Passo 1

O enunciado pede aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter um conjunto de vetores ortogonais A,B,C a partir dos vetores originais em R^3. Vamos usar produto interno e projeção ortogonal para construir cada novo vetor, garantindo que eles sejam mutuamente ortogonais.

Passo 2

No Gram– Schmidt, o primeiro vetor ortogonal é igual ao primeiro vetor original. Assim, definimos
A = a = 1 [6pt] 1 [6pt] 2 ]

Passo 3

Para achar B, subtraímos de b a projeção de b sobre A:
B = b - projA(b), projA(b) = b cdot AA cdot A;A
Calculamos
b cdot A = 1 cdot 1 + (-1) cdot 1 + 0 cdot 2 = 0
e
A cdot A = 1^2 + 1^2 + 2^2 = 6,
logo projA(b) = 0. Daí
B = b = 1 [4pt] -1 [4pt] 0 ]

Passo 4

Para obter C, afastamos de c as projeções sobre A e B:
C = c - projA(c) - projB(c),
onde
projA(c) = ccdotAAcdotA;A, projB(c) = ccdotBBcdotB;B
Calculamos
ccdotA=1cdot1+0cdot1+4cdot2=9,
AcdotA=6,
ccdotB=1cdot1+0cdot(-1)+4cdot0=1,
BcdotB=1^2+(-1)^2+0^2=2. Assim
projA(c)=96,A =32 112, projB(c)=12, 1-10
Subtraindo essas projeções de c temos
C = 104 - 32112 - 121-10 = -1-11

Resposta

A=112, B=1-10, C=-1-11

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