Verdadeiro ou falso? Dê um contra-exemplo caso falso ou uma demonstração caso verdadeiro.
Se Q (3 por 2 ) tem colunas ortonormais então |Q x| sempre é igual a |x|.

Passo 1

O enunciado diz que Q é uma matriz de tamanho 3times 2 cujas colunas são ortonormais, e pergunta se para todo xinR^2 vale
|Qx| = |x|
Estamos no contexto de álgebra linear, usando produto interno e normas induzidas.

Passo 2

Por definição, colunas ortonormais significam que o produto interno entre quaisquer duas colunas de Q é zero (se forem distintas) ou um (se for ela mesma). Em termos matriciais, isso equivale a
Q^T Q = I2,
onde I2 é a matriz identidade 2times2.

Passo 3

Para qualquer vetor xinR^2, temos
|Qx|^2 = (Qx)^T (Qx) = x^T Q^T Q,x = x^T I2,x = x^T x = |x|^2

Passo 4

Como |Qx|^2 = |x|^2 e ambas as normas são não negativas, basta tirar a raiz quadrada para concluir
|Qx| = |x|
Isso vale para todo xinR^2.

Resposta

Verdadeiro.

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