Verdadeiro ou falso? Dê um contra-exemplo caso falso ou uma demonstração caso verdadeiro.
Se
(3 por 2 ) tem colunas ortonormais então
sempre é igual a
.
Se
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz de tamanho
cujas colunas são ortonormais, e pergunta se para todo
vale
Estamos no contexto de álgebra linear, usando produto interno e normas induzidas.
Passo 2
Por definição, colunas ortonormais significam que o produto interno entre quaisquer duas colunas de
é zero (se forem distintas) ou um (se for ela mesma). Em termos matriciais, isso equivale a
onde
é a matriz identidade
.
Passo 3
Para qualquer vetor
, temos
Passo 4
Como
e ambas as normas são não negativas, basta tirar a raiz quadrada para concluir
Isso vale para todo
.
Resposta
Verdadeiro.