Calcule ou verifique a não existência dos seguintes limites
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a
da função
Devemos decidir se esse limite existe e, se existir, calcular seu valor. As informações relevantes são: a expressão do numerador
e a expressão do denominador
. O ponto de interesse é
. Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Estratégia didática: em limites de funções de várias variáveis, uma maneira prática de testar existência é verificar se o valor do limite depende do caminho pelo qual
se aproxima da origem. Se encontrarmos dois caminhos que levam a valores diferentes, então o limite não existe. Vou explicar esse método: “o limite existe” significa que, para qualquer sequência ou caminho que leve à origem, os valores da função tendem ao mesmo número
. Portanto, basta apresentar dois caminhos com limites distintos para concluir que o limite não existe.
Passo 3
Teste de caminho 1 (caminho trivial que dá zero): tomo a reta onde
e
, e
tende a
. Ao longo dessa reta a função fica
Portanto, ao aproximar-se da origem por esse caminho, o valor da função tende a
.
Passo 4
Explicação da ideia para escolher um segundo caminho: quero achar um caminho em que o denominador cancele a parte
e fique com a mesma ordem de grandeza que o numerador, para obter um valor diferente de
. Note que se tomarmos
a parte
some, sobrando apenas
no denominador. Então precisamos escolher
em função de
de modo que
tenha a mesma ordem em
que o numerador
. Com
o numerador vira
. Queremos
ter a mesma potência em
que
. Uma escolha que funciona é
(escolho
para manter
real); aí
e o numerador será
, ou seja, as ordens coincidem e possivelmente a razão tende a uma constante diferente de zero.
Passo 5
Teste de caminho 2 (caminho com
e
): parametrizo por
com
tendendo a
, e tomo
Calculo numerador e denominador explicitamente:
Logo, ao longo desse caminho a função vale
para todo
pequeno. Portanto, quando
o valor da função tende a
.
Passo 6
Conclusão pelos dois caminhos: pelo caminho em que
chegamos ao limite
. Pelo caminho em que
e
chegamos ao limite
. Como obtivemos dois valores diferentes ao aproximar a origem por caminhos distintos, o limite geral não pode existir (um limite em várias variáveis, se existir, deve ser único e independente do caminho).
Resposta
Não existe.