Calcule ou verifique a não existência dos seguintes limites
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} \frac{x y z}{x^{2}-y^{2}+z^{4}}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando (x,y,z) tende a (0,0,0) da função
\frac{xyz}{x^{2}-y^{2}+z^{4}}.
Devemos decidir se esse limite existe e, se existir, calcular seu valor. As informações relevantes são: a expressão do numerador xyz e a expressão do denominador x^{2}-y^{2}+z^{4}. O ponto de interesse é (0,0,0). Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Estratégia didática: em limites de funções de várias variáveis, uma maneira prática de testar existência é verificar se o valor do limite depende do caminho pelo qual (x,y,z) se aproxima da origem. Se encontrarmos dois caminhos que levam a valores diferentes, então o limite não existe. Vou explicar esse método: “o limite existe” significa que, para qualquer sequência ou caminho que leve à origem, os valores da função tendem ao mesmo número L. Portanto, basta apresentar dois caminhos com limites distintos para concluir que o limite não existe.

Passo 3

Teste de caminho 1 (caminho trivial que dá zero): tomo a reta onde x=0 e y=0, e z tende a 0. Ao longo dessa reta a função fica
\frac{xyz}{x^{2}-y^{2}+z^{4}}=\frac{0\cdot 0\cdot z}{0-0+z^{4}}=0.
Portanto, ao aproximar-se da origem por esse caminho, o valor da função tende a 0.

Passo 4

Explicação da ideia para escolher um segundo caminho: quero achar um caminho em que o denominador cancele a parte x^{2}-y^{2} e fique com a mesma ordem de grandeza que o numerador, para obter um valor diferente de 0. Note que se tomarmos y=x a parte x^{2}-y^{2} some, sobrando apenas z^{4} no denominador. Então precisamos escolher z em função de x de modo que z^{4} tenha a mesma ordem em x que o numerador xyz. Com y=x o numerador vira x\cdot x\cdot z=x^{2}z. Queremos x^{2}z ter a mesma potência em x que z^{4}. Uma escolha que funciona é z=x^{2/3} (escolho x\ge 0 para manter z real); aí z^{4}=(x^{2/3})^{4}=x^{8/3} e o numerador será x^{2}z=x^{2}\cdot x^{2/3}=x^{8/3}, ou seja, as ordens coincidem e possivelmente a razão tende a uma constante diferente de zero.

Passo 5

Teste de caminho 2 (caminho com y=x e z=x^{2/3}): parametrizo por x=t com t>0 tendendo a 0, e tomo
y=t,\qquad z=t^{2/3}.
Calculo numerador e denominador explicitamente:
\text{numerador}=xyz=t\cdot t\cdot t^{2/3}=t^{1+1+2/3}=t^{8/3},
\text{denominador}=x^{2}-y^{2}+z^{4}=t^{2}-t^{2}+(t^{2/3})^{4}=0+t^{8/3}=t^{8/3}.
Logo, ao longo desse caminho a função vale
\frac{xyz}{x^{2}-y^{2}+z^{4}}=\frac{t^{8/3}}{t^{8/3}}=1
para todo t>0 pequeno. Portanto, quando t\to 0^{+} o valor da função tende a 1.

Passo 6

Conclusão pelos dois caminhos: pelo caminho em que x=y=0 chegamos ao limite 0. Pelo caminho em que y=x e z=x^{2/3} chegamos ao limite 1. Como obtivemos dois valores diferentes ao aproximar a origem por caminhos distintos, o limite geral não pode existir (um limite em várias variáveis, se existir, deve ser único e independente do caminho).

Resposta

Não existe.

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