UM TANQUE ARMAZENA 2001 A QUAL CONTÉM 10 kg DE SAL. ÁGUA PURA É, ENTÃO, DESPEJADA NESSE TANQUE, A UMA TAXA DE
. O SISTEMA DE HOMOGENEIZAÇÃO É EFICIENTE E A SAÍDA DA MISTURA TEM A MESMA TAXA DE ENTRADA DE ÁGUA. CALCULE A QUANTIDADE DE SAL DECORRIDOS 30MIN, BEM COMO O TEMPO NECESSÁRIO PARA QUE A QUANTIDADE DE SAL NO TANQUE SEJA 1 kg
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações fornecidas:
- O volume do tanque é
(unidades de volume; usaremos simplesmente o valor ,). - A quantidade inicial de sal é
kg. - Entra água pura à taxa de
. - Sai mistura à mesma taxa de
(portanto o volume do tanque permanece constante).
Perguntas pedidas:
- Calcular a quantidade de sal decorridos
min. - Calcular o tempo necessário para que a quantidade de sal no tanque seja
kg.
Passo 2
Vamos definir a variável que modela o problema. Seja
a quantidade de sal (em kg) no tanque no instante
(em minutos). Como a mistura é homogênea, a concentração de sal no tanque em qualquer instante é
Explicação: concentração = massa de sal dividida pelo volume total; aqui o volume é constante e igual a
.
Passo 3
Agora escrevemos a equação diferencial que descreve a variação de
. Entrada de sal é zero (água pura). Saída de sal ocorre porque sai mistura com concentração
à taxa
. Assim a taxa de variação de
é
Portanto
Passo 4
Resolver essa equação diferencial. Observação: é uma equação linear de primeira ordem e separável; é o caso clássico de decaimento exponencial. Tratamento por separação de variáveis:
Integramos ambos os lados:
onde
é constante de integração.
Passo 5
Isolando
obtemos a solução geral
onde
. Usamos a condição inicial
para determinar
:
Logo a solução particular é
Explicação didática: esse resultado diz que a quantidade de sal decai exponencialmente com constante de decaimento
por minuto.
Passo 6
Calcular a quantidade de sal após
min. Substituímos
na expressão:
Fazendo a aproximação numérica (mostrar o cálculo aproximado):
, então
Interpretação: depois de
minutos restam aproximadamente
kg de sal no tanque.
Passo 7
Calcular o tempo necessário para que reste
kg de sal. Partimos de
Dividindo por
:
Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
Sabendo que
, isolamos
:
Cálculo numérico:
e
, portanto
Em horas e minutos isso é aproximadamente
horas
minutos e
segundos (pois
minuto ≈
s). Explicação: esse é o tempo para a massa de sal diminuir de
kg para
kg sob o decaimento exponencial determinado.