UM TANQUE ARMAZENA 2001 A QUAL CONTÉM 10 kg DE SAL. ÁGUA PURA É, ENTÃO, DESPEJADA NESSE TANQUE, A UMA TAXA DE 31 / \mathrm{min}. O SISTEMA DE HOMOGENEIZAÇÃO É EFICIENTE E A SAÍDA DA MISTURA TEM A MESMA TAXA DE ENTRADA DE ÁGUA. CALCULE A QUANTIDADE DE SAL DECORRIDOS 30MIN, BEM COMO O TEMPO NECESSÁRIO PARA QUE A QUANTIDADE DE SAL NO TANQUE SEJA 1 kg

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações fornecidas:
  • O volume do tanque é 2001 (unidades de volume; usaremos simplesmente o valor \,2001,).
  • A quantidade inicial de sal é 10 kg.
  • Entra água pura à taxa de 31/\mathrm{min}.
  • Sai mistura à mesma taxa de 31/\mathrm{min} (portanto o volume do tanque permanece constante).
    Perguntas pedidas:
  1. Calcular a quantidade de sal decorridos 30 min.
  2. Calcular o tempo necessário para que a quantidade de sal no tanque seja 1 kg.

Passo 2

Vamos definir a variável que modela o problema. Seja S(t) a quantidade de sal (em kg) no tanque no instante t (em minutos). Como a mistura é homogênea, a concentração de sal no tanque em qualquer instante é
\text{concentração}(t)=\frac{S(t)}{2001}.çã
Explicação: concentração = massa de sal dividida pelo volume total; aqui o volume é constante e igual a 2001.

Passo 3

Agora escrevemos a equação diferencial que descreve a variação de S(t). Entrada de sal é zero (água pura). Saída de sal ocorre porque sai mistura com concentração \frac{S(t)}{2001} à taxa 31/\mathrm{min}. Assim a taxa de variação de S é
\frac{dS}{dt} = \text{(entrada de sal)} - \text{(saída de sal)} = 0 - 31\cdot\frac{S(t)}{2001}.í
Portanto
\frac{dS}{dt} = -\frac{31}{2001}\,S(t).

Passo 4

Resolver essa equação diferencial. Observação: é uma equação linear de primeira ordem e separável; é o caso clássico de decaimento exponencial. Tratamento por separação de variáveis:
\frac{dS}{S} = -\frac{31}{2001}\,dt.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{dS}{S} = \int -\frac{31}{2001}\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln|S| = -\frac{31}{2001}\,t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando S obtemos a solução geral
S(t) = K\,e^{-\frac{31}{2001}t},
onde K=e^{C}. Usamos a condição inicial S(0)=10 para determinar K:
10 = K\,e^{0} \quad\Rightarrow\quad K=10.
Logo a solução particular é
S(t) = 10\,e^{-\frac{31}{2001}t}.
Explicação didática: esse resultado diz que a quantidade de sal decai exponencialmente com constante de decaimento \frac{31}{2001} por minuto.

Passo 6

Calcular a quantidade de sal após 30 min. Substituímos t=30 na expressão:
S(30)=10\,e^{-\frac{31}{2001}\cdot 30}=10\,e^{-\frac{930}{2001}}.
Fazendo a aproximação numérica (mostrar o cálculo aproximado): \frac{930}{2001}\approx 0,4648, então
S(30)\approx 10\,e^{-0,4648}\approx 10\cdot 0,628\approx 6,28\\ \mathrm{kg}.
Interpretação: depois de 30 minutos restam aproximadamente 6,28 kg de sal no tanque.

Passo 7

Calcular o tempo necessário para que reste 1 kg de sal. Partimos de
1 = 10\,e^{-\frac{31}{2001}t}.
Dividindo por 10:
0,1 = e^{-\frac{31}{2001}t}.
Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
\ln(0,1) = -\frac{31}{2001}t.
Sabendo que \ln(0,1)=-\ln(10), isolamos t:
t = \frac{2001}{31}\,\ln 10.
Cálculo numérico: \frac{2001}{31}\approx 64,5484 e \ln 10\approx 2,302585, portanto
t \approx 64,5484\cdot 2,302585 \approx 148,65\\ \mathrm{min}.
Em horas e minutos isso é aproximadamente 2 horas 28 minutos e 39 segundos (pois 0,65 minuto ≈ 39 s). Explicação: esse é o tempo para a massa de sal diminuir de 10 kg para 1 kg sob o decaimento exponencial determinado.

Resposta

S(30)\approx 6,28\\ \mathrm{kg}\n t=\dfrac{2001}{31}\ln 10\approx 148,65\\ \mathrm{min}

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