Calcule a derivada das funções abaixo.
f(x)=3^{x}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a derivada da função f(x)=3^{x}.
Informações dadas: a função é f(x)=3^{x} definida para todo x\in\mathbb{R}. O objetivo é encontrar f'(x), a derivada em função de x.

Passo 2

Uma forma prática e padrão de derivar potências com base diferente de e é reescrever a função em termos da exponencial natural. Vou usar a identidade
a^{x}=e^{x\ln a},
válida para qualquer base positiva a. Aplicando com a=3 obtemos
f(x)=3^{x}=e^{x\ln 3}.
Aqui \ln 3 é o logaritmo natural de 3 e é uma constante (não depende de x).

Passo 3

Agora preciso da regra de derivação para funções da forma e^{u(x)}. A regra (cadeia) diz:
se g(x)=e^{u(x)}, então
g'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Explicando devagar: e^{u(x)} é uma composição da exponencial e^{t} com t=u(x). A derivada da exponencial e^{t} em relação a t é e^{t}. Pela regra da cadeia, multiplica-se por u'(x), a derivada do interior. Não tem mistério: derivada de e^{\text{algo}} é e^{\text{algo}} vezes a derivada de “algo”.

Passo 4

Identifico em f(x)=e^{x\ln 3} que u(x)=x\ln 3. Derivo u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}(x\ln 3)=\ln 3,
porque \ln 3 é constante e \frac{d}{dx}x=1.
Agora aplico a regra da cadeia:
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{x\ln 3}=e^{x\ln 3}\cdot \ln 3.

Passo 5

Volto à base 3 usando e^{x\ln 3}=3^{x}. Assim
f'(x)=3^{x}\ln 3.
Isso mostra também a fórmula geral: para qualquer base a>0,
\frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a.
Exemplos rápidos para fixar: \frac{d}{dx}2^{x}=2^{x}\ln 2 e \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}\ln e=e^{x}, já que \ln e=1.

Resposta

f'(x)=3^{x}\ln 3

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