Calcule a derivada das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a derivada da função
.
Informações dadas: a função é definida para todo
. O objetivo é encontrar
, a derivada em função de
.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Uma forma prática e padrão de derivar potências com base diferente de
é reescrever a função em termos da exponencial natural. Vou usar a identidade
válida para qualquer base positiva
. Aplicando com
obtemos
Aqui
é o logaritmo natural de
e é uma constante (não depende de
).
Passo 3
Agora preciso da regra de derivação para funções da forma
. A regra (cadeia) diz:
se , então
se
Explicando devagar:
é uma composição da exponencial
com
. A derivada da exponencial
em relação a
é
. Pela regra da cadeia, multiplica-se por
, a derivada do interior. Não tem mistério: derivada de
é
vezes a derivada de “algo”.
Passo 4
Identifico em
que
. Derivo
:
porque
é constante e
.
Agora aplico a regra da cadeia:
Passo 5
Volto à base
usando
. Assim
Isso mostra também a fórmula geral: para qualquer base
,
Exemplos rápidos para fixar:
e
, já que
.