Exercício 5:
Disserte com precisão e rigor matemático o que é um campo gradiente e uma função potencial.

Passo 1

O enunciado pede que eu diserte, com precisão e rigor matemático, o que é um campo gradiente e o que é uma função potencial.
Informações/objetivos que vou usar e responder ao longo da resolução:
  • Definir claramente o que é um campo gradiente e o que é uma função potencial.
  • Explicar quais hipóteses técnicas são necessárias (regularidade da função, propriedades do domínio).
  • Mostrar as propriedades principais (unicidade até constante, condição de curl/derivadas mistas, equivalência com independência de caminho).
  • Apresentar um procedimento prático para encontrar uma potencial e dar exemplos e contraexemplos que ilustrem quando a existência falha.
    Não vou ainda resolver nada — apenas deixei explícito o que vou demonstrar.

Passo 2

Primeiro, o operador gradiente e a definição básica. Seja U\subset\mathbb{R}^n um aberto e seja f:U\to\mathbb{R} uma função diferenciável (mais precisamente C^1, isto é, com todas as derivadas parciais contínuas). O gradiente de f é o campo de vetores formado pelas derivadas parciais de f. Escrevemos
\nabla f = \Big(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n}\Big).
Cada componente \frac{\partial f}{\partial x_i} é a taxa de variação de f na direção do eixo x_i. Intuitivamente, \nabla f(x) aponta na direção de maior crescimento de f em x e o seu módulo dá a taxa desse crescimento.
Exemplo simples para fixar: para f(x,y)=x^2+y^2 temos
\nabla f(x,y) = (2x,2y).
Esse é um campo de vetores que aponta radialmente para fora.

Passo 3

Definição de campo gradiente e função potencial. Seja U\subset\mathbb{R}^n aberto.
  • Dizemos que um campo vetorial F:U\to\mathbb{R}^n é um campo gradiente (ou é conservativo) se existe uma função f:U\to\mathbb{R} tal que
F=\nabla f.
  • A função f que satisfaz F=\nabla f chama-se função potencial (ou apenas potencial) de F.
Observação importante sobre unicidade: se f e g são potenciais para o mesmo campo F num domínio conectado U, então \nabla(f-g)=0 em U. Pelo fato de derivadas nulas implicarem função constante em um conjunto conectado, segue que f-g é constante. Portanto, o potencial é único a menos de uma constante aditiva.
Prova curta desse fato: se \nabla(f-g)=0 então a derivada direcional de f-g em qualquer direção é zero; integrando ao longo de uma curva entre dois pontos vemos que f-g tem o mesmo valor em ambos, então é constante em todo U.

Passo 4

Uma condição necessária: igualdade das derivadas mistas (ou “curl zero”). Suponha f\in C^2(U) e F=\nabla f. Então, para quaisquer índices i,j,
\frac{\partial F_i}{\partial x_j}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i} \quad\text{e}\quad \frac{\partial F_j}{\partial x_i}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}.
Pelo teorema de igualdade das derivadas mistas (Clairaut), estas são iguais sempre que f\in C^2. Em \mathbb{R}^2 isso dá a condição
\frac{\partial F_1}{\partial x_2}=\frac{\partial F_2}{\partial x_1}.
Em \mathbb{R}^3 essa igualdade das derivadas mistas é equivalente a dizer que o rotor (curl) de F é o vetor nulo:
\nabla\times F = 0.
Portanto: se F é gradiente de uma função C^2 então necessariamente \nabla\times F=0 (ou a condição correspondente em \mathbb{R}^n).

Passo 5

Condição suficiente (com hipótese topológica): se U\subset\mathbb{R}^n é aberto e simplesmente conectado e F:U\to\mathbb{R}^n é C^1 e satisfaz \nabla\times F=0 em U, então existe f:U\to\mathbb{R} com F=\nabla f. Vou construir o potencial explicitamente e justificar que isso dá \nabla f=F.
Escolha um ponto base a\in U. Para x\in U definimos
f(x):=\int_{\gamma} F\cdot \mathrm{d}r,
onde \gamma é qualquer curva C^1 de a até x. Primeiro é preciso ver que isso não depende da curva escolhida (independência de caminho). A independência de caminho segue porque, em um domínio simplesmente conectado, se \nabla\times F=0 então a integral de linha de F sobre qualquer laço fechado é zero (teorema de Green/Stokes ou versão do lema de Poincaré). Assim a integral entre a e x é bem definida.
Agora mostramos que f tem derivadas parciais e que \partial f/\partial x_i = F_i. Considere um incremento na direção e_i:
\frac{f(x+he_i)-f(x)}{h}=\frac{1}{h}\int_{\sigma_h} F\cdot\mathrm{d}r,
onde \sigma_h é a curva formada por uma curva de a até x seguida do segmento de x até x+he_i; como a parte comum cancela, a integral reduz-se ao integral sobre o pequeno segmento, e pelo teorema fundamental do cálculo para integrais em linha obtemos que o limite, quando h\to 0, é F_i(x). Assim \partial f/\partial x_i=F_i(x) e logo \nabla f=F.
Resumo da ideia: curl zero + domínio simplesmente conectado + regularidade C^1 implica existência de potencial construído por integral de linha, e diferenciando essa integral recuperamos o campo.

Passo 6

Equivalência entre várias propriedades que costumam aparecer em enunciados e provas: para um campo F\in C^1(U) em um aberto conexo U, as seguintes afirmações são equivalentes (com a ressalva topológica no item do curl):
  1. F é um campo gradiente, isto é, existe f com F=\nabla f.
  2. As integrais de linha de F são independentes do caminho (entre pontos fixos).
  3. A integral de F sobre qualquer curva fechada é zero.
  4. Se, além disso, U é simplesmente conectado, então essas são equivalentes à condição \nabla\times F=0 (em \mathbb{R}^3) ou \partial F_1/\partial x_2=\partial F_2/\partial x_1 (em \mathbb{R}^2).
A implicação 1\Rightarrow 2\Rightarrow 3 é direta (usamos o Teorema Fundamental do Cálculo de Linha). A implicação 3\Rightarrow 2 também é imediata. A implicação 3\Rightarrow 1 é feita pela construção do passo anterior. A equivalência com o curl-zero exige a hipótese de domínio simplesmente conectado no sentido inverso ( \nabla\times F=0\Rightarrow 1).

Passo 7

Procedimento prático para encontrar uma função potencial em \mathbb{R}^2 (método que dá aulas práticas para a prova). Seja F=(P(x,y),Q(x,y)) com P,Q\in C^1 e satisfaçam \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x numa região simplesmente conectada. Para achar f tal que \nabla f=F, faça:
  1. Integre P em x:
f(x,y)=\int P(x,y)\,\mathrm{d}x + h(y).
  1. Diferencie essa expressão em y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\Big(\int P(x,y)\,\mathrm{d}x\Big)+h'(y).
  1. Iguale a \frac{\partial f}{\partial y} ao componente Q(x,y) e resolva para h'(y). Integre para obter h(y) e assim f.
Exemplo 1: F=(2x,2y). Integro P=2x em x:
f(x,y)=\int 2x\,\mathrm{d}x = x^2 + h(y).
Agora \partial f/\partial y = h'(y) deve ser 2y, logo h'(y)=2y e h(y)=y^2 + C. Assim f(x,y)=x^2+y^2+C.
Exemplo 2 (contraexemplo de domínio não simplesmente conectado): considere
F(x,y)=\Big(-\frac{y}{x^2+y^2},\\ \frac{x}{x^2+y^2}\Big),
definido em U=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}. Calcula-se que \partial F_1/\partial y=\partial F_2/\partial x em todo U (ou equivalentemente \nabla\times F=0 em U), mas F não é gradiente em U porque a integral de F ao longo do círculo unitário é 2\pi\neq 0. Assim a condição de curl zero não é suficiente sem a hipótese topológica de simplesmente conexidade.

Passo 8

Comentários finais e observações úteis para a hora da prova (empatia e dicas práticas).
  • Sempre verifique regularidade: para aplicar igualdade de derivadas mistas use C^2 (ou pelo menos percebendo continuidade das parciais). Para construir potencial por integração de linha, C^1 é suficiente.
  • Sempre examine o domínio: se for todo \mathbb{R}^n ou um aberto simplesmente conectado, então a condição “curl zero” costuma ser suficiente. Se o domínio tem “buracos”, procure por contraexemplos (curvas fechadas com circulação não nula).
  • Para encontrar o potencial na prática use o método de integrar componente a componente e ajustar com função de integração dependente das outras variáveis; ao final confirme derivando e comparando.
  • Lembre-se da unicidade até constante — útil para checar respostas: dois potenciais possíveis só diferem por constante.

Resposta

Um campo gradiente é um campo vetorial F:U\to\mathbb{R}^n tal que existe uma função f:U\to\mathbb{R} com F=\nabla f. A função f chama-se função potencial de F. Em termos precisos e sob hipóteses usuais de regularidade ( F\in C^1, f\in C^2), temos as equivalências e propriedades principais: se F=\nabla f então as derivadas mistas coincidem (em \mathbb{R}^3 isso equivale a \nabla\times F=0); em um aberto simplesmente conectado a condição \nabla\times F=0 é também suficiente para a existência local e global de um potencial; F é gradiente se e somente se integrais de linha entre dois pontos são independentes do caminho (ou, equivalentemente, integrais sobre curvas fechadas são zero); o potencial é único a menos de uma constante aditiva; e na prática o potencial pode ser encontrado integrando uma componente e ajustando as funções de integração por comparação com as outras componentes.

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