Exercício 5:
Disserte com precisão e rigor matemático o que é um campo gradiente e uma função potencial.
Disserte com precisão e rigor matemático o que é um campo gradiente e uma função potencial.
Passo 1
O enunciado pede que eu diserte, com precisão e rigor matemático, o que é um campo gradiente e o que é uma função potencial.
Informações/objetivos que vou usar e responder ao longo da resolução:
Informações/objetivos que vou usar e responder ao longo da resolução:
- Definir claramente o que é um campo gradiente e o que é uma função potencial.
- Explicar quais hipóteses técnicas são necessárias (regularidade da função, propriedades do domínio).
- Mostrar as propriedades principais (unicidade até constante, condição de curl/derivadas mistas, equivalência com independência de caminho).
- Apresentar um procedimento prático para encontrar uma potencial e dar exemplos e contraexemplos que ilustrem quando a existência falha.
Não vou ainda resolver nada — apenas deixei explícito o que vou demonstrar.
Passo 2
Primeiro, o operador gradiente e a definição básica. Seja
um aberto e seja
uma função diferenciável (mais precisamente
, isto é, com todas as derivadas parciais contínuas). O gradiente de
é o campo de vetores formado pelas derivadas parciais de
. Escrevemos
Cada componente
é a taxa de variação de
na direção do eixo
. Intuitivamente,
aponta na direção de maior crescimento de
em
e o seu módulo dá a taxa desse crescimento.
Exemplo simples para fixar: para
temos
Esse é um campo de vetores que aponta radialmente para fora.
Passo 3
Definição de campo gradiente e função potencial. Seja
aberto.
- Dizemos que um campo vetorial
é um campo gradiente (ou é conservativo) se existe uma função tal que
- A função
que satisfaz chama-se função potencial (ou apenas potencial) de .
Observação importante sobre unicidade: se
e
são potenciais para o mesmo campo
num domínio conectado
, então
em
. Pelo fato de derivadas nulas implicarem função constante em um conjunto conectado, segue que
é constante. Portanto, o potencial é único a menos de uma constante aditiva.
Prova curta desse fato: se
então a derivada direcional de
em qualquer direção é zero; integrando ao longo de uma curva entre dois pontos vemos que
tem o mesmo valor em ambos, então é constante em todo
.
Passo 4
Uma condição necessária: igualdade das derivadas mistas (ou “curl zero”). Suponha
e
. Então, para quaisquer índices
,
Pelo teorema de igualdade das derivadas mistas (Clairaut), estas são iguais sempre que
. Em
isso dá a condição
Em
essa igualdade das derivadas mistas é equivalente a dizer que o rotor (curl) de
é o vetor nulo:
Portanto: se
é gradiente de uma função
então necessariamente
(ou a condição correspondente em
).
Passo 5
Condição suficiente (com hipótese topológica): se
é aberto e simplesmente conectado e
é
e satisfaz
em
, então existe
com
. Vou construir o potencial explicitamente e justificar que isso dá
.
Escolha um ponto base
. Para
definimos
onde
é qualquer curva
de
até
. Primeiro é preciso ver que isso não depende da curva escolhida (independência de caminho). A independência de caminho segue porque, em um domínio simplesmente conectado, se
então a integral de linha de
sobre qualquer laço fechado é zero (teorema de Green/Stokes ou versão do lema de Poincaré). Assim a integral entre
e
é bem definida.
Agora mostramos que
tem derivadas parciais e que
. Considere um incremento na direção
:
onde
é a curva formada por uma curva de
até
seguida do segmento de
até
; como a parte comum cancela, a integral reduz-se ao integral sobre o pequeno segmento, e pelo teorema fundamental do cálculo para integrais em linha obtemos que o limite, quando
, é
. Assim
e logo
.
Resumo da ideia: curl zero + domínio simplesmente conectado + regularidade
implica existência de potencial construído por integral de linha, e diferenciando essa integral recuperamos o campo.
Passo 6
Equivalência entre várias propriedades que costumam aparecer em enunciados e provas: para um campo
em um aberto conexo
, as seguintes afirmações são equivalentes (com a ressalva topológica no item do curl):
-
é um campo gradiente, isto é, existe com . - As integrais de linha de
são independentes do caminho (entre pontos fixos). - A integral de
sobre qualquer curva fechada é zero. - Se, além disso,
é simplesmente conectado, então essas são equivalentes à condição (em ) ou (em ).
A implicação
é direta (usamos o Teorema Fundamental do Cálculo de Linha). A implicação
também é imediata. A implicação
é feita pela construção do passo anterior. A equivalência com o curl-zero exige a hipótese de domínio simplesmente conectado no sentido inverso (
).
Passo 7
Procedimento prático para encontrar uma função potencial em
(método que dá aulas práticas para a prova). Seja
com
e satisfaçam
numa região simplesmente conectada. Para achar
tal que
, faça:
- Integre
em :
- Diferencie essa expressão em
:
- Iguale a
ao componente e resolva para . Integre para obter e assim .
Exemplo 1:
. Integro
em
:
Agora
deve ser
, logo
e
. Assim
.
Exemplo 2 (contraexemplo de domínio não simplesmente conectado): considere
definido em
. Calcula-se que
em todo
(ou equivalentemente
em
), mas
não é gradiente em
porque a integral de
ao longo do círculo unitário é
. Assim a condição de curl zero não é suficiente sem a hipótese topológica de simplesmente conexidade.
Passo 8
Comentários finais e observações úteis para a hora da prova (empatia e dicas práticas).
- Sempre verifique regularidade: para aplicar igualdade de derivadas mistas use
(ou pelo menos percebendo continuidade das parciais). Para construir potencial por integração de linha, é suficiente. - Sempre examine o domínio: se for todo
ou um aberto simplesmente conectado, então a condição “curl zero” costuma ser suficiente. Se o domínio tem “buracos”, procure por contraexemplos (curvas fechadas com circulação não nula). - Para encontrar o potencial na prática use o método de integrar componente a componente e ajustar com função de integração dependente das outras variáveis; ao final confirme derivando e comparando.
- Lembre-se da unicidade até constante — útil para checar respostas: dois potenciais possíveis só diferem por constante.
Resposta
Um campo gradiente é um campo vetorial
tal que existe uma função
com
. A função
chama-se função potencial de
. Em termos precisos e sob hipóteses usuais de regularidade (
,
), temos as equivalências e propriedades principais: se
então as derivadas mistas coincidem (em
isso equivale a
); em um aberto simplesmente conectado a condição
é também suficiente para a existência local e global de um potencial;
é gradiente se e somente se integrais de linha entre dois pontos são independentes do caminho (ou, equivalentemente, integrais sobre curvas fechadas são zero); o potencial é único a menos de uma constante aditiva; e na prática o potencial pode ser encontrado integrando uma componente e ajustando as funções de integração por comparação com as outras componentes.